×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Duljina luka ravninske krivulje     ODREĐENI INTEGRAL     Oplošje rotacijskog tijela


Volumen rotacijskog tijela

a)
Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog parabolom: $ \displaystyle y=x^{2}$ , osi $ y$ i pravcem $ y=1$ oko osi $ y$ .
b)
Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide \begin{displaymath}
\displaystyle\left\{
\begin{array}{c}
x=a\cos ^{3}t \\
y=a\sin ^{3}t
\end{array}\right. \end{displaymath} oko osi $ y$ .

Rješenje.

a)
Koristeći formulu za volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom krivulje [*][M2, poglavlje 2.6.3], za krivulju $ \displaystyle x=\sqrt{y}$ u granicama od 0 do $ 1$ koja rotira oko oko osi $ y$ , vidi sliku 2.6, dobivamo

$\displaystyle V=\pi \int\limits_{0}^{1}\left( \sqrt{y}\right) ^{2}dy=\pi \frac{y^{2}}{2} \bigg\vert_{0}^{1}=\frac{\pi }{2}.$    

Slika 2.6: Rotacija parabole $ y=x^{2}$
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=volumen1.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

b)
Koristeći formulu za volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom krivulje zadane parametarski [*][M2, poglavlje 2.6.3], za krivulju \begin{displaymath}
\displaystyle\left\{
\begin{array}{c}
x=a\cos ^{3}t \\
y=a\sin ^{3}t
\end{array}\right. \end{displaymath} (astroida), oko osi $ y$ , i koristeći simetriju astroide dobivamo

$\displaystyle V$ $\displaystyle =2\pi \int\limits_{0}^{\pi /2}a^{2}\cos ^{6}t\cdot 3a\sin ^{2}t\c...
...$ & $0$ & $\frac{\pi}{2}$  \hline $u$ & $0$ & $1$ \end{tabular} \right\}$    
  $\displaystyle =6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( 1-t^{2}\right) ^{3}t^{2} dt=6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( t^{2}-3t^{4}+3t^{6}-t^{8}\right)  dt$    
  $\displaystyle =6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( t^{2}-3t^{4}+3t^{6}-t^{8}\ri...
...}-\frac{3t^{5}}{5}+\frac{3t^{7}}{7}-\frac{ t^{9}}{9}\right) \bigg\vert_{0}^{1}=$    
  $\displaystyle =6\pi a^{3}\left( \frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}\right) =6\pi a^{3}\frac{16}{315}=\frac{32\pi a^{3}}{105}.$    


Duljina luka ravninske krivulje     ODREĐENI INTEGRAL     Oplošje rotacijskog tijela