×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Momenti i težišta     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Varijacijski račun


Integrali ovisni o parametru

U ovom poglavlju opisat ćemo postupke deriviranja i integriranja integrala ovisnih o parametru, kao i primjene tih postupaka na rješavanje nekih određenih integrala. Također ćemo obraditi gama i beta funkcije.

Promotrimo integral

$\displaystyle I(\alpha)=\int\limits _a^b f(x,\alpha)  dx
$

u kojem integrand $ f(x,\alpha)$ ovisi o parametru $ \alpha$ , pri čemu i granice integracije također mogu biti funkcije od $ \alpha$ . Kada se $ \alpha$ mijenja, vrijednost određenog integrala se također mijenja pa je zadani integral funkcija od $ \alpha$ . Kao i kod funkcija jedne varijable, računanje derivacija je od izuzetne važnosti.

Teorem 4.3   Neka su funkcija $ f(x,\alpha)$ i njena parcijalna derivacija $ f'_\alpha(x,\alpha)$ neprekidne na skupu

$\displaystyle A=\{ (x,\alpha) :  a\leq x\leq b, c \leq \alpha\leq d\}.
$

Tada za svaki $ \alpha\in(c,d)$ vrijedi Leibnitzova formula

$\displaystyle I'(\alpha)=\left[ \int\limits _a^b f(x,\alpha)  dx\right]'_\alpha = \int\limits _a^b f'_\alpha
(x,\alpha)  dx.
$

Dokaz.
Prema definiciji derivacije (vidi [*]M1, formula (5.1)) je

$\displaystyle I'(\alpha)$ $\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \frac{I(x,\alpha+ \Delta \alpha)-I(x,\alpha)}{\Delta \alpha}$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \frac{1}{\Delta \alpha}   \left[ \in...
...ts _a^b f(x,\alpha+\Delta \alpha)  dx-\int\limits _a^b f(x,\alpha)  dx\right]$    
  $\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0}   \int\limits _a^b \frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha) - f(x,\alpha)}{\Delta \alpha}  dx.$    

Prema Lagrangeovom teoremu srednje vrijednosti (vidi [*]M1, teorem 5.9) vrijedi

$\displaystyle I'(\alpha) \lim_{\Delta \alpha \to 0}   \int\limits _a^b
f'_{\alpha}(x,\alpha+\vartheta \Delta \alpha)  dx
$

za neki $ 0<\vartheta < 1$ pa prelazak na limes daje tvrdnju teorema.    
Q.E.D.

U slučaju kada i granice integracije ovise o parametru, vrijedi:

Teorem 4.4   Neka su, uz uvjete teorema 4.3, funkcije $ \varphi(\alpha)$ i $ \psi(\alpha)$ neprekidne i derivabilne na intervalu $ (c,d)$ i neka je $ a\leq \varphi(\alpha)\leq \psi(\alpha)\leq b$ za svaki $ \alpha\in(c,d)$ . Neka je

$\displaystyle I(\alpha)=\int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)} f(x,\alpha)  dx.
$

Tada za svaki $ \alpha\in(c,d)$ vrijedi

$\displaystyle I'(\alpha) = \int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)} f'_\al...
...\frac{d\psi}{d\alpha} -
f(\varphi(\alpha),\alpha)  \frac{d\varphi}{d\alpha}.
$

Dokaz.
Interpretiramo li zadani integral kao

$\displaystyle I(\alpha)\equiv I(\alpha,\varphi(\alpha),\psi(\alpha)),
$

pravilo za deriviranje kompozicije funkcija (teorem 3.5) daje

$\displaystyle I'(\alpha)=\frac{dI}{d\alpha} = \frac{\partial I}{\partial \alpha...
...varphi}{d\alpha} + \frac{\partial
I}{\partial \psi}   \frac{d\psi}{d\alpha}.
$

Prema teoremu 4.3 je

$\displaystyle \frac{\partial I}{\partial \alpha} = \int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)} f'_\alpha
(x,\alpha)  dx.
$

Neka je $ F(x,\alpha)$ primitivna funkcija funkcije $ f(x,\alpha)$ za neki $ \alpha$ , odnosno $ F'_x(x,\alpha)=f(x,\alpha)$ . Tada je

$\displaystyle \frac{\partial I}{\partial \psi}$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial \psi} \int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\...
...ial \psi} \left[ F(x,\alpha)\bigg\vert _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)}\right]$    
  $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial \psi}   \left[ F(\psi(\alpha),\alpha)- F(\varphi(\alpha),\alpha)\right] = f(\psi(\alpha),\alpha).$    

Slično se pokaže da je

$\displaystyle \frac{\partial I}{\partial \varphi}=-f(\varphi(\alpha),\alpha)
$

pa tvrdnja teorema slijedi iz četiri prethodne relacije.     
Q.E.D.

Prethodne teoreme koristimo za rješavanje nekih diferencijalnih jednadžbi, računanje Fourierovih koeficijenata i nalaženje nekih određenih integrala.

Primjer 4.15   Izračunajmo integral

$\displaystyle I=\int\limits _0^1 x^m (\ln x)^n   dx, \quad m,n\in\mathbb{N}.
$

Vrijedi

$\displaystyle \int\limits _0^1 x^m  dx=\frac{1}{m+1}.
$

Funkcije $ f(x,m)=x^m$ i $ f'_m(x,m)=x^m\ln x$ su neprekidne za $ 0<x<1$ i $ m>0$ pa teorem 4.3 daje

$\displaystyle \frac{d}{dm} \int\limits _0^1 x^m   dx= \int\limits _0^1 x^m \ln x   dx= -\frac{1}{(m+1)^2}.
$

Nakon još jednog deriviranja imamo

$\displaystyle \int\limits _0^1 x^m (\ln x)^2   dx= \frac{2!}{(m+1)^3}
$

iz čega zaključujemo da $ n$ deriviranja po varijabli $ m$ daje

$\displaystyle I=(-1)^n   \frac{n!}{(m+1)^{n+1}}.
$

Primjer 4.16   Izračunajmo integral

$\displaystyle I(k,\lambda)=\int\limits _0^\infty e^{-kx}  \frac{\sin \lambda x}{x}   dx,\quad k>0.
$

Koristeći teorem 4.3 i tehniku integriranja iz primjera 1.6 d) imamo

$\displaystyle \frac{dI}{d\lambda}=\int\limits _0^\infty e^{-kx}\cos \lambda x \...
...da x - k\cos \lambda
x\right] \bigg\vert _0^\infty = \frac{k}{k^2+\lambda^2}.
$

Dakle, vrijedi

$\displaystyle I(k,\lambda)=\int \frac{k}{k^2+\lambda^2}   d\lambda =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits
\frac{\lambda}{k} + C.
$

Iz $ 0=I(k,0)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 0 + C=C$ slijedi $ C=0$ pa je

$\displaystyle I(k,\lambda)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{\lambda}{k}.
$

Ovaj rezultat ujedno daje i vrijednost Dirichletovog integrala:

$\displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{\sin \lambda x}{x}   dx= \lim_{k \to...
...0,\\
\quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \text{ za } \lambda > 0.
\end{cases}$

Zadatak 4.5   Izračunajte sljedeće integrale:
a)
$ I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{e^{-x} - e^{-\alpha x}}{x}  dx$     (rješenje: $ I(\alpha)=\ln \alpha$ ),

b)
$ I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{1}{(x^2+\alpha)^{n+1}}  dx, \qquad
n\in\mathbb{N}, \quad \alpha > 0$ ,
(rješenje: $ I(\alpha)=\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}
\frac{\pi}{2\alpha^n  \sqrt{\alpha}}$ ),

c)
$ I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty e^{-x^2-\frac{\alpha^2}{x^2}}   dx$ ,      (rješenje: $ I(\alpha)=\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}   e^{-2\alpha}$ ),

d)
$ I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\alpha \frac{\ln (1+\alpha   x)}{1+x^2}  dx$ ,      (rješenje: $ I(\alpha)=\displaystyle \frac{1}{2} 
\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \alpha \cdot \ln (1+\alpha^2)$ ).

Primjer 4.17   Gama funkcija ili Eulerov integral druge vrste je integral (vidi sliku 4.14)

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int\limits _0^\infty x^{\alpha-1}  e^{-x}   dx.
$

Slika 4.14: Gama funkcija
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/gammaf.eps, width=8cm}
\end{center}\end{figure}
Za $ \alpha =1$ vrijedi (vidi poglavlje 2.5):

$\displaystyle \Gamma(1)=\int\limits _0^\infty e^{-x}   dx=1.
$

Za $ \alpha>1$ parcijalna integracija daje

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int\limits _0^\infty x^{\alpha-1}  e^{-x}   dx
...
...vert _0^\infty + (\alpha-1)
\int\limits _0^\infty x^{\alpha-2}  e^{-x}   dx
$

iz čega slijedi

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=(\alpha-1)  \Gamma(\alpha-1).
$

Stoga za $ \alpha=n\in\mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot \Gamma(1)=(n-1)!  .
$

Beta funkcija ili Eulerov integral prve vrste je integral

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int\limits _0^1 x^{\alpha-1}  (1-x)^{\beta-1}   dx, \qquad
\alpha,\beta > 0.
$

Beta funkcija je simetrična s obzirom na svoje parametre, odnosno vrijedi $ B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)$ . Bez dokaza navodimo dvije veze između gama funkcije i beta funkcije:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)$ $\displaystyle =\frac{\Gamma(\alpha)  \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)},$    
$\displaystyle \Gamma(\alpha)  \Gamma(1-\alpha)$ $\displaystyle =B(\alpha,1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin\alpha\pi},\quad 0<\alpha<1.$    

Tako je, na primjer,

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = B\left(\frac{1}{2},1-\frac{1}{2}\right) =
\pi
$

pa je $ \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ .

Gama funkcija i beta funkcija javljaju se u brojnim aplikacijama i po važnosti su odmah iza elementarnih funkcija.


Momenti i težišta     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Varijacijski račun