Integrali ovisni o parametru

U ovom poglavlju opisat ćemo postupke deriviranja i integriranja integrala ovisnih o parametru, kao i primjene tih postupaka na rješavanje nekih određenih integrala. Također ćemo obraditi gama i beta funkcije.

Teorem 4.3 Neka su funkcija $f(x,\alpha)$ i njena parcijalna derivacija $f'_\alpha(x,\alpha)$ neprekidne na skupu

$\displaystyle A=\{ (x,\alpha) : a\leq x\leq b, c \leq \alpha\leq d\}.$

Tada za svaki $\alpha\in(c,d)$ vrijedi Leibnitzova formula

$\displaystyle I'(\alpha)=\left[ \int\limits _a^b f(x,\alpha) dx\right]'_\alpha = \int\limits _a^b f'_\alpha (x,\alpha) dx.$

Teorem 4.4 Neka su, uz uvjete teorema 4.3, funkcije $\varphi(\alpha)$ i $\psi(\alpha)$ neprekidne i derivabilne na intervalu

i neka je $a\leq \varphi(\alpha)\leq \psi(\alpha)\leq b$ za svaki $\alpha\in(c,d)$ . Neka je

$\displaystyle I(\alpha)=\int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)} f(x,\alpha) dx.$

Tada za svaki $\alpha\in(c,d)$ vrijedi

$\displaystyle I'(\alpha) = \int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)} f'_\al... ...\frac{d\psi}{d\alpha} - f(\varphi(\alpha),\alpha) \frac{d\varphi}{d\alpha}.$

Prethodne teoreme koristimo za rješavanje nekih diferencijalnih jednadžbi, računanje Fourierovih koeficijenata i nalaženje nekih određenih integrala.

Primjer 4.15 Izračunajmo integral

$\displaystyle I=\int\limits _0^1 x^m (\ln x)^n dx, \quad m,n\in\mathbb{N}.$

Vrijedi

$\displaystyle \int\limits _0^1 x^m dx=\frac{1}{m+1}.$

Funkcije

i $f'_m(x,m)=x^m\ln x$ su neprekidne za

pa teorem 4.3 daje

$\displaystyle \frac{d}{dm} \int\limits _0^1 x^m dx= \int\limits _0^1 x^m \ln x dx= -\frac{1}{(m+1)^2}.$

Nakon još jednog deriviranja imamo

$\displaystyle \int\limits _0^1 x^m (\ln x)^2 dx= \frac{2!}{(m+1)^3}$

iz čega zaključujemo da

deriviranja po varijabli

daje

$\displaystyle I=(-1)^n \frac{n!}{(m+1)^{n+1}}.$

Primjer 4.16 Izračunajmo integral

$\displaystyle I(k,\lambda)=\int\limits _0^\infty e^{-kx} \frac{\sin \lambda x}{x} dx,\quad k>0.$

Koristeći teorem 4.3 i tehniku integriranja iz primjera 1.6 d) imamo

$\displaystyle \frac{dI}{d\lambda}=\int\limits _0^\infty e^{-kx}\cos \lambda x \... ...da x - k\cos \lambda x\right] \bigg\vert _0^\infty = \frac{k}{k^2+\lambda^2}.$

Dakle, vrijedi

$\displaystyle I(k,\lambda)=\int \frac{k}{k^2+\lambda^2} d\lambda =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{\lambda}{k} + C.$

Iz $0=I(k,0)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 0 + C=C$ slijedi

pa je

$\displaystyle I(k,\lambda)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{\lambda}{k}.$

Ovaj rezultat ujedno daje i vrijednost Dirichletovog integrala:

$\displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{\sin \lambda x}{x} dx= \lim_{k \to... ...0,\\ \quad \displaystyle \frac{\pi}{2} & \text{ za } \lambda > 0. \end{cases}$

Zadatak 4.5 Izračunajte sljedeće integrale:

a): $I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{e^{-x} - e^{-\alpha x}}{x} dx$ (rješenje: $I(\alpha)=\ln \alpha$ ),
b): $I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty \frac{1}{(x^2+\alpha)^{n+1}} dx, \qquad n\in\mathbb{N}, \quad \alpha > 0$ ,
(rješenje: $I(\alpha)=\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2\alpha^n \sqrt{\alpha}}$ ),
c): $I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\infty e^{-x^2-\frac{\alpha^2}{x^2}} dx$ , (rješenje: $I(\alpha)=\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2} e^{-2\alpha}$ ),
d): $I(\alpha) = \displaystyle \int\limits _0^\alpha \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^2} dx$ , (rješenje: $I(\alpha)=\displaystyle \frac{1}{2} \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \alpha \cdot \ln (1+\alpha^2)$ ).

Primjer 4.17 Gama funkcija ili Eulerov integral druge vrste je integral (vidi sliku 4.14)

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int\limits _0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} dx.$

**Slika 4.14:** Gama funkcija
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/gammaf.eps, width=8cm} \end{center}\end{figure}$

Za $\alpha =1$ vrijedi (vidi poglavlje 2.5):

$\displaystyle \Gamma(1)=\int\limits _0^\infty e^{-x} dx=1.$

Za $\alpha>1$ parcijalna integracija daje

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int\limits _0^\infty x^{\alpha-1} e^{-x} dx ... ...vert _0^\infty + (\alpha-1) \int\limits _0^\infty x^{\alpha-2} e^{-x} dx$

iz čega slijedi

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=(\alpha-1) \Gamma(\alpha-1).$

Stoga za $\alpha=n\in\mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \Gamma(n)=(n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot \Gamma(1)=(n-1)! .$

Beta funkcija ili Eulerov integral prve vrste je integral

$\displaystyle B(\alpha,\beta)=\int\limits _0^1 x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} dx, \qquad \alpha,\beta > 0.$

Beta funkcija je simetrična s obzirom na svoje parametre, odnosno vrijedi $B(\alpha,\beta)=B(\beta,\alpha)$ . Bez dokaza navodimo dvije veze između gama funkcije i beta funkcije:

$\displaystyle B(\alpha,\beta)$	$\displaystyle =\frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)},$
$\displaystyle \Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)$	$\displaystyle =B(\alpha,1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin\alpha\pi},\quad 0<\alpha<1.$

Tako je, na primjer,

$\displaystyle \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)^2 = B\left(\frac{1}{2},1-\frac{1}{2}\right) = \pi$

pa je $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ .

Gama funkcija i beta funkcija javljaju se u brojnim aplikacijama i po važnosti su odmah iza elementarnih funkcija.

$\displaystyle I'(\alpha)$	$\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \frac{I(x,\alpha+ \Delta \alpha)-I(x,\alpha)}{\Delta \alpha}$
	$\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \frac{1}{\Delta \alpha} \left[ \in... ...ts _a^b f(x,\alpha+\Delta \alpha) dx-\int\limits _a^b f(x,\alpha) dx\right]$
	$\displaystyle =\lim_{\Delta \alpha \to 0} \int\limits _a^b \frac{f(x,\alpha+\Delta \alpha) - f(x,\alpha)}{\Delta \alpha} dx.$

$\displaystyle \frac{\partial I}{\partial \psi}$	$\displaystyle =\frac{\partial}{\partial \psi} \int\limits _{\varphi(\alpha)}^{\... ...ial \psi} \left[ F(x,\alpha)\bigg\vert _{\varphi(\alpha)}^{\psi(\alpha)}\right]$
	$\displaystyle =\frac{\partial}{\partial \psi} \left[ F(\psi(\alpha),\alpha)- F(\varphi(\alpha),\alpha)\right] = f(\psi(\alpha),\alpha).$