×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Tangencijalna ravnina     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal višeg reda


Parcijalne derivacije kompozicije funkcija

Prisjetimo se formule za derivaciju kompozicije funkcija jedne varijable

$\displaystyle \left[g(f(x)) \right]'=g'(f(x))f'(x).
$

Kada imamo funkcije više varijabla, tada za računanje parcijalnih derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija) vrijedi analogno pravilo, dakako uz nešto kompliciraniji zapis.

Teorem 3.5   Neka su zadane funkcije

$\displaystyle \varphi_1,\cdots,\varphi_k:\mathcal{D}\to\mathbb{R},$ $\displaystyle \qquad \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n,$    
$\displaystyle f:X\to\mathbb{R},$ $\displaystyle \qquad X\subseteq \mathbb{R}^k,$    

pri čemu je

$\displaystyle \varphi_1[D]\times\cdots\times\varphi_k[D]\subseteq X.
$

Tada možemo definirati kompoziciju $ F=f\circ(\varphi_1,\cdots,\varphi_k):\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ formulom

$\displaystyle F(x_1,\cdots,x_n)=f(\varphi_1(x_1,\cdots,x_n),
\cdots,\varphi_k(x_1,\cdots,x_n)),\quad (x_1,\cdots,x_n)\in D.
$

Ako su funkcije $ \varphi_1,\cdots,\varphi_k$ i $ f$ diferencijabilne, onda je i funkcija $ F$ također diferencijabilna, a njene parcijalne derivacije dane su formulom

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^k\frac{\partial f}{\partial u_j}
\cdot\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i},\qquad i=1,\cdots,n,
$

gdje je $ u_j=\varphi_j(x_1,\cdots,x_n)$ , $ j=1,\cdots,k$ .

Primjer 3.13   Neka su zadane diferencijabilne funkcije

$\displaystyle \varphi :\mathcal{D}\to [a,b], \psi :\mathcal{D}\to [c,d], \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^3,
$

$\displaystyle f : [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}
$

i neka je

$\displaystyle F(x,y,z)=f(\varphi(x,y,z),\psi(x,y,z)), (x,y,z)\in D.
$

Uvedemo li oznake $ u=\varphi(x,y,z)$ i $ v=\psi(x,y,z)$ , onda prema prethodnom teoremu imamo

$\displaystyle F'_x$ $\displaystyle =f'_u\cdot\varphi'_x+f'_v\cdot\psi'_x,$    
$\displaystyle F'_y$ $\displaystyle =f'_u\cdot\varphi'_y+f'_v\cdot\psi'_y,$    
$\displaystyle F'_z$ $\displaystyle =f'_u\cdot\varphi'_z+f'_v\cdot\psi'_z.$    

Napomena 3.5   Ako je funkcija $ F$ zadana kao u teoremu 3.5, onda je njen diferencijal jednak

$\displaystyle dF(x_1, \cdots,x_m)$ $\displaystyle =\sum_{i=1}^mF'_{x_i}(x_1, \cdots,x_m)dx_i$    
  $\displaystyle =\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)\cdot (\varphi_j)'_{x_i}(x_1, \cdots,x_m)\right)dx_i$    
  $\displaystyle =\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)\cdot\left(\sum_{i=1}^m(\varphi_j)'_{x_i} (x_1, \cdots,x_m)dx_i\right)$    
  $\displaystyle =\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)du_j$    
  $\displaystyle =df(u_1,\cdots,u_k).$    

Zadatak 3.8   Neka su, uz oznake kao u primjeru 3.13, zadane funkcije $ f(u,v)=u^2 v$ , $ \varphi (x,y,z)=xyz$ i $ \psi(x,y,z)=x+ \cos \displaystyle \frac{y}{z}$ .
a)
Izračunjte $ F'_x$ direktno i pomoću formula iz primjera 3.13.
b)
Provjerite za ovu funkciju formule iz napomene 3.5.


Tangencijalna ravnina     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal višeg reda