×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Linearna regresija     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Rješavanje problema najmanjih kvadrata

QR rastav vektora i matrice

a)

Zadana je točka $T(10,20,20)$ . Odredite točku $T'$ na negativnom dijelu osi $x$ tako da bude $\left\Vert \mathbf{r}_{T}\right\Vert =\left\Vert \mathbf{r}_{T^{\prime }}\right\Vert$ . Odredite odgovarajuću Householderovu matricu $H$ koja vektor $\mathbf{r}_{T}$ preslikava u $\mathbf{r}_{T^{\prime }}$ .

b)

Primjenom Householderovih transformacija izračunajte QR rastav matrice

$$\begin{bmatrix} 10 & 9 & 18 20 & -15 & -15 20 & -12 & 51 \end{bmatrix}.$$

Rješenje.

a)

Norma radij-vektora $\mathbf{r}_{T}=\begin{bmatrix} 10 \\ 20 \\ 20 \end{bmatrix}$ točke $T(10,20,20)$ je $\left\Vert \mathbf{r}_{T}\right\Vert _2=30$ .

Budući se točka $T^{\prime}$ nalazi na negativnom dijelu osi apscisa, ordinata i aplikata su joj 0 . Od ishodišta je jednako udaljena kao i točka $T$ , pa joj je apscisa $-30$ , odnosno $T^{\prime}(-30,0,0)$ .

Sada vektor $\mathbf{r}_{T}$ moramo rotirati u $\mathbf{r}_{T^{\prime }}$ , što znači da moramo pronaći matricu $H$ za koju je

$$H\begin{bmatrix} 10 20 20 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -30 0 0 \end{bmatrix}.$$

Prema [M2, poglavlje 6.2.1], takva matrica $H$ je dana s $$H=I - \frac{2}{\mathbf{v}^T \mathbf{v}}\mathbf{v} \mathbf{v}^T,$$ gdje je $$\mathbf{v}=\mathbf{r}_{T}-\mathbf{r}_{T^{\prime }}$$ . Dakle,

$$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}40 20 20 \end{bmatrix}$$    i  $$H=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1& -2& -2 -2 & 2 & -1 -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}.$$

Lako se provjeri da je

$$H\mathbf{r}_T=\begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}.$$

b)

QR rastav matrice nalazimo uzastopnom primjenom QR rastava vektora, [M2, poglavlje 6.2.2]. U prvom dijelu zadatka pronašli smo Householderov reflektor

$$H=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}-1& -2& -2 -2 & 2 & -1 -2 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

koji prvi stupac matrice $A$ rotira u vektor $$\begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}$$ .

Kod QR rastava vektora, matrica $Q$ je upravo Householderov reflektor, pa QR rastav prvog stupca matrice $A$ glasi

$$\begin{bmatrix}10 20 20 \end{bmatrix}=\frac{1}{3}\begin{bmatr... ...& -1 -2 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-30 0 0 \end{bmatrix}.$$

Označimo $H_1=Q_1=H$ . Vrijedi

$$Q_1 A = \left[ \begin{array}{c\vert c} -30 & \begin{array}{cc} \... ...t]=\begin{bmatrix}-30& 15& -30 0 & -12 & -39 0 & -9 & 27 \end{bmatrix}.$$

Sada pronađimo Householderov reflektor $H_2$ koji je pridružen prvom stupcu $\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}-12 -9 \end{bmatrix}$ matrice $A_2=\begin{bmatrix}-12 & -39 -9 & 27 \end{bmatrix}$ .

Norma vektora $\mathbf{a}_2$ je $\left\Vert\mathbf{a}_2\right\Vert _2=15$ , što znači da vektor $\mathbf{a}_2$ treba zarotirati u $\begin{bmatrix}\pm 15 0 \end{bmatrix}$ . Predznak se u praksi (zbog numeričke stabilnosti) bira tako da se izbjegne oduzimanje. U našem slučaju to je ``$+$ ''. Dakle,

$$\mathbf{v}_2=\begin{bmatrix}-12 -9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}15 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-27 -9 \end{bmatrix}$$    i  $$H_2=I - \frac{2}{\mathbf{v}_2^T \mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2 \mathbf{v}_2^T=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}-4& -3 -3 & 4 \end{bmatrix}.$$

Stavimo

$$Q_2=\begin{bmatrix}1 & & H_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{5}\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 0 & -4& -3 0 & -3 & 4 \end{bmatrix}.$$

Sada je

$$Q_2 Q_1 A =\begin{bmatrix}-30& 15& -30 0 & 15 & 15 0 & 0 & 45 \end{bmatrix}=R.$$

Matrice $Q_1$ is $Q_2$ su ortogonalne i simetrične, odnosno, vrijedi $Q_1^{-1}=Q_1^T=Q_1$ i $Q_2^{-1}=Q_2^T=Q_2$ . Dakle, matrica $Q$ je

$$Q=Q_1^{-1} Q_2^{-1} =Q_1Q_2=\frac{1}{15} \begin{bmatrix}-5& 14& 2 -10 & -5 & -10 -15 & -2 & 11 \end{bmatrix}$$

pa QR rastav matrice $A$ glasi

$$\begin{bmatrix} 10 & 9 & 18 \\ 20 & -15 & -15 \\ 20 & -12 & ... ...rix} \begin{bmatrix}-30& 15& -30 0 & 15 & 15 0 & 0 & 45 \end{bmatrix}.$$

Linearna regresija     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Rješavanje problema najmanjih kvadrata