×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Metoda parcijalne integracije     Metoda parcijalne integracije     Integriranje racionalnih funkcija

Rekurzivne formule

Rekurzivna formula je formula kojom se izraz ovisan o nekom parametru izražava pomoću izraza istog oblika ovisnog o istoj ili nekoj drugoj vrijednosti tog parametra.^1.3 Formalna definicija je sljedeća: neka za niz funkcija

$$f_n:I\to \mathbb{R}, \qquad n=1,2,3,\ldots$$

postoje neodređeni integrali

$$I_n(x)=\int f_n(x) dx.$$

Formula oblika

$$I_n(x)=\Phi(x, I_{n-1}(x), I_{n-2}(x),\ldots,I_{n-k}(x) ), \qquad k\leq n-1,$$

zove se rekurzivna formula za niz integrala $I_n(x)$ .

Primjenu rekurzivnih formula za nalaženje integrala ilustrirat ćemo na sljedećem važnom primjeru koji je sastavni dio integriranja racionalnih funkcija u poglavlju 1.4. Nađimo

$$I_n=\int \frac{ dx}{(1+x^2)^n}, \qquad n\in \mathbb{N}.$$

Za $n=1$ vrijedi

$$I_1=\int \frac{ dx}{1+x^2}=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+C.$$

Za $n\geq 2$ vrijedi

$$I_n=\int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n} dx= I_{n-1}-\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n} dx.$$ (1.1)

Sada imamo

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n} dx = \left\{ \begin{aligned}u&=x,\quad du= dx dv&=\display... ...ad v=\int \displaystyle \frac{x}{(1+x^2)^n} dx \end{aligned} \right\} =\ldots$$

Riješimo pomoćni integral postupkom kao u primjeru 1.3 d):

$$v =\int \displaystyle \frac{x}{(1+x^2)^n} dx= \bigg\{ \begin{alig... ...\} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t^n}= \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{-n+1}}{-n+1}$$

$$= \frac{1}{2(1-n)}\cdot \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}.$$

Dakle, parcijalna integracija daje

$$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n} dx = \frac{x}{2(1-n)(1+x^2)^{n-1}} - \int \frac{ dx}{2(1-n)(1+x^2)^{n-1}}$$

$$= \frac{x}{2(1-n)(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}.$$

Uvrštavanje u formulu (1.1) konačno daje rekurzivnu formulu

$$I_n =I_{n-1}-\frac{x}{2(1-n)(1+x^2)^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)} I_{n-1}$$

$$= \frac{x}{2(n-1)(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2(n-1)} I_{n-1}.$$

Uzastopnom primjenom ove formule lako nađemo integral $I_n$ za bilo koji $n$ . Na primjer, za $n=3$ imamo

$$I_3 =\int \frac{ dx}{(1+x^2)^3}=\frac{x}{4(1+x^2)^{2}}+\frac{3}{4} ... ...frac{x}{4(1+x^2)^{2}}+\frac{3}{4} \bigg(\frac{x}{2(1+x^2)}+\frac{1}{2}I_1\bigg)$$

$$= \frac{x}{4(1+x^2)^{2}}+\frac{3}{8}\cdot \frac{x}{1+x^2} +\frac{3}{8}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+C.$$

Provjerite ovo rješenje deriviranjem.

Zadatak 1.2   Nađite rekurzivne formule za integrale:

a)

$\int (\cos x)^n dx$ ,

b)

$\int (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x)^n dx$ ,

c)

$$\int \frac{1}{(\sin x)^n} dx$$ .

Metoda parcijalne integracije     Metoda parcijalne integracije     Integriranje racionalnih funkcija