×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Metode supstitucije     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule


Metoda parcijalne integracije

Ova metoda sastoji se od povoljnog rastavljanja zadanog integrala u obliku

$\displaystyle \int f(x)  dx= \int u(x)v'(x)  dx= \int u(x)  d(v(x)),
$

i primjene sljedećeg teorema.

Teorem 1.7   Ako su funkcije $ u,v:I\to\mathbb{R}$ derivabilne na intervalu $ I$ , onda vrijedi formula parcijalne integracije

$\displaystyle \int u(x)  v'(x)   dx= u(x) v(x) - \int v(x)  u'(x)  dx.
$

Dokaz.
Neka je $ F:I\to R$ primitivna funkcija funkcije $ u(x)  v'(x)$ na intervalu $ I$ , odnosno $ F$ je neprekidna i vrijedi

$\displaystyle F'(x)=u(x)  v'(x), \qquad x\in I\setminus A,
$

pri čemu je $ A\subset I$ diskretan podskup. Zbog derivabilnosti funkcija $ u$ i $ v$ je i funkcija $ u(x) v(x)$ neprekidna na intervalu $ I$ . Stoga je funkcija

$\displaystyle G(x)=u(x) v(x)-F(x)
$

neprekidna na intervalu $ I$ te za svaki $ x\in I\setminus A$ vrijedi

$\displaystyle G'(x)$ $\displaystyle = u'(x) v(x)+u(x) v(x)-F'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)-u(x) v'(x)$    
  $\displaystyle =u'(x) v(x).$    

Dakle, $ G$ je primitivna funkcija funkcije $ u' v$ na intervalu $ I$ pa je

$\displaystyle F(x)=u(x) v(x)-G(x)
$

i teorem je dokazan.
Q.E.D.

Izbor funkcija $ u$ i $ v$ je stvar iskustva. Tvrdnju teorema 1.7 možemo zapisati u kraćem obliku:

$\displaystyle \int u  dv=u v-\int v  du.
$

Primjer 1.6  
a)
Vrijedi

$\displaystyle \int x e^x   dx$ $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}u&=x, \quad   du=  dx,    dv&=e^x ...
...quad v=\int   dv=\int e^x  dx=e^x \end{aligned} \right\} = xe^x-\int e^x  dx$    
  $\displaystyle = xe^x-e^x+ C.$    

Prilikom rješavanja pomoćnog integrala $ \int   dv$ nije potrebno pisati konstantu integracije, jer je dovoljna jedna konstanta integracije $ C$ na kraju zadatka.
b)
Za funkciju $ u$ možemo uzeti i čitavu podintegralnu funkciju ukoliko se ona deriviranjem pojednostavni:

\begin{equation*}
\int \ln x  dx= \left\{
\begin{aligned}
u&=\ln x, \quad   du...
...aligned}\right\}
= x\ln x-\int x \frac{1}{x}  dx= x\ln x-x+C.
\end{equation*}

c)
Formulu parcijalne integracije možemo primijeniti više puta uzastopce:

$\displaystyle \int (x^2+2x) \cos x   dx$ $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}u&=x^2+2x, \quad   du=(2x+2)  dx,    dv&= \cos x  dx, \quad v=\int \cos x  dx=\sin x \end{aligned} \right\}$    
  $\displaystyle = (x^2+2x)\sin x-\int \sin x (2x+2)   dx$    
  $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}u&=2x+2, \quad   du=2  dx,    dv&= \sin x  dx, \quad v=\int \sin x  dx=-\cos x \end{aligned} \right\}$    
  $\displaystyle = (x^2+2x)\sin x - \bigg[ (2x+2)(-\cos x) - \int (-\cos x) 2  dx\bigg]$    
  $\displaystyle = (x^2+2x)\sin x + (2x+2)\cos x -2\sin x +C.$    

Općenito, zaključujemo da integrale oblika

$\displaystyle \int p_n(x) e^x   dx, \quad
\int p_n(x) \sin x   dx, \quad
\int p_n(x) \cos x   dx,
$

gdje je $ p_n$ polinom $ n$ -tog stupnja, možemo riješiti primjenom parcijalne integracije $ n$ puta za redom.

d)
Integrale sljedećeg tipa rješavamo tako da nakon dvostruke parcijalne integracije dobijemo izraz koji opet sadrži polazni integral:

$\displaystyle \int e^x \sin x   dx$ $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}u&=e^x, \quad   du=e^x  dx,    dv&= \sin x  dx, \quad v=-\cos x \end{aligned} \right\}$    
  $\displaystyle = e^x(-\cos x)-\int (-\cos x)e^x  dx$    
  $\displaystyle = -e^x\cos x+\int e^x \cos x  dx$    
  $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}u&=e^x, \quad   du=e^x  dx,    dv&= \cos x  dx, \quad v=\sin x \end{aligned} \right\}$    
  $\displaystyle = -e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin x  dx.$    

Iz prethodne jednakosti slijedi

$\displaystyle \int e^x \sin x   dx= \frac{1}{2}   e^x (\sin x-\cos x) +C.
$

Primijetimo da smo zbog svojevrsne simetrije zadatak mogli riješiti i pomoću rastava $ u=\sin x$ i $   dv=e^x  dx$ .

Zadatak 1.1  
a)
Izračunajte integral $ \int x^3 \sin x  dx$ .
b)
Izračunajte integral $ \int xe^x \sin x  dx$ . Je li moguće riješiti integral oblika
$ \int p_n(x) e^x \sin x  dx$ , gdje je $ p_n$ polinom $ n$ -tog stupnja?
c)
Provjerite rješenja zadatka i primjera 1.6 deriviranjem.


Poglavlja


Metode supstitucije     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule