Natrag: NEODREĐENI INTEGRAL Gore: NEODREĐENI INTEGRAL   Naprijed: Tablica osnovnih integrala  

Definicija i osnovna svojstva

Neka je zadana funkcija $f:D\to \mathbb{R}$. Želimo naći funkciju $F$ koja derivirana daje $f$, odnosno želimo riješiti jednadžbu

$$F'(x)=f(x),$$

za one $x$ za koje rješenje postoji.

Za slijedeću definiciju potrebno je ponoviti neke definicije. Neka je $a,b\in \mathbb{R}$, $a<b$. Interval $I$ je svaki od skupova

$$[a,b],\quad (a,b),\quad (a,b],\quad [a,b),\quad [a,+\infty),$$

$$(a,+\infty),\quad (-\infty,b),\quad (-\infty,b],\quad (-\infty,+\infty)\equiv \mathbb{R}.$$

Nadalje, skup je prebrojiv ako je ekvipotentan sa skupom prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ [M1, definicija 1.15].

Definicija 1.1   Neka je zadana funkcija $f:D\to \mathbb{R}$, neka je $I\subseteq D$ interval i neka je $A\subseteq I$ konačan ili prebrojiv podskup. Primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ je svaka neprekidna funkcija $F:I\to \mathbb{R}$ takva da je $F'(x)=f(x)$ za $\forall x\in I\setminus A$.^1.1

Ova definicija i činjenica da je derivacija konstantne funkcije jednaka nuli povlače slijedeći teorem.

Teorem 1.1   Ako je $F(x)$ primitivna funkcija funkcije $f(x)$ na intervalu $I$, tada je i $F(x)+C$ primitivna funkcija funkcije $f(x)$ na intervalu $I$ za svaku konstantu $C\in\mathbb{R}$.

Primjer 1.1  

a)

Zadana je funkcija $f(x)=2x$, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Funkcije

$$F_1(x) =x^2,\qquad F_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^0_+\quad i$$

$$F_2(x) =x^2-\frac{1}{3},\qquad F_2(x):\mathbb{R}\to [-\frac{1}{3}, +\infty)$$

su primitivne funkcije od $f$ na $\mathbb{R}$ (slika 1.1 a)).

b)

Prema definiciji 1.1, $F_1$ i $F_2$ su i primitivne funkcije od

$$g(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\neq 1$,}\\ 0,& \text{za $x=1$,} \end{cases}$$

jer možemo uzeti $I=\mathbb{R}$ i $A=\{-1\}$, odnosno skup $A$ je u ovom slučaju konačan (vidi sliku 1.1 b)).

c)

$F_1$ i $F_2$ su također primitivne funkcije funkcije

$$h(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\notin \mathbb{N}$,} 0,& \text{za $x\in \mathbb{N}$,} \end{cases}$$

jer možemo uzeti $I=\mathbb{R}$ i $A=\mathbb{N}$, pri čemu je skup $A$ prebrojiv.

d)

Neka je

$$f(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $-2<x<2$,} x,& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$$

Primitivna funkcija funkcije $f$ je

$$F(x)=\begin{cases}x^2-2,& \text{za $-2<x<2$,} \frac{x^2}{2},& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$$

Konstantu $-2$ u izrazu $x^2-2$ smo izabrali tako da se ispuni uvjet neprekidnosti funkcije $F$ na intervalu $I=(-2,+\infty)$ prema definiciji 1.1. Naravno, i funkcija $F(x)+C$ je primitivna funkcija funkcije $f$ za svaku konstantu $C$. Nacrtajte funkcije $f$ i $F$.

Slika 1.1: Primitivna funkcija

Nakon što smo usvojili pojam primitivne funkcije možemo definirati neodređeni integral, no prije toga dokazat ćemo još sljedeći teorem.

Teorem 1.2   Ako su $F$ i $G$ dvije primitivne funkcije funkcije $f$ na intervalu $I$, tada postoji konstanta $C$ takva da je $G(x)=F(x)+C$.

Dokaz.

Dokažimo teorem za najjednostavniji slučaj kada je $A=\emptyset$, odnosno kada se radi o striktno primitivnim funkcijama. Pretpostavke teorema povlače

$$G'(x)=F'(x)=f(x),\qquad \forall x\in I,$$

pa je $(G-F)'(x)=0$, odnosno $(G-F)(x)=C$ za neku konstantu $C$ i za svaki $x\in I$.

Q.E.D.

Definicija 1.2   Neodređeni integral funkcije $f$ na intervalu $I$ je skup svih primitivnih funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$. Koristimo oznaku

$$\int f(x) dx= F(x) + C, \qquad C\in \mathbb{R},$$

pri čemu je $F$ neka primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$, $x$ je varijabla integracije, a $f$ je podintegralna funkcija ili integrand, a $C$ je konstanta integracije.

Napomenimo da gornju jednakost interpretiramo kao jednakost među funkcijama, odnosno $F(x)$ označava funkciju $F$, a ne njezinu vrijednost u točki $x$.

Primjer 1.2   Vrijedi

$$\int dx = x+ C,$$

$$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C,$$

$$\int e^x dx = e^x + C.$$

Napomena 1.1   Dva uvjeta iz definicije 1.1 zaslužuju dodatno objašnjenje. Uvjet da formula $F'(x)=f(x)$ vrijedi na skupu $I\setminus A$, a ne na čitavom skupu $I$, što je slabiji uvjet od onoga što bismo očekivali, proizlazi iz geometrijskog značenja određenog integrala (poglavlje 2). Naime, određeni integral u principu daje površinu između podintegralne funkcije i $x$-osi, a kako površina ne ovisi o vrijednosti funkcije u prebrojivo točaka, to se i u definiciji neodređenog integrala uzima slabiji uvjet. Drugi uvjet je da se traži neprekidnost funkcije $F$ na čitavom intervalu $I$ i onda kada funkcija $f$ taj uvjet ne ispunjava. Ovaj uvjet proističe iz fizikalne interpretacije integrala. Naime, brzina je derivacija puta po vremenu [M1,�5.1], pa je stoga put integral brzine. No, dok funkcija kojom je zadana brzina može (u idealnim uvjetima) imati prekide, prijeđeni put je uvijek neprekidan. Stoga je i uvjet neprekidnosti primitivne funkcije prirodan.

Slijedeća dva teorema daju nam osnovna svojstva integrala. Prisjetimo se definicije diferencijala funkcije $f$ [M1, �5.2],

$$df(x)=f'(x) dx.$$

Prvi teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 1.3   Neka je $\int f(x) dx= F(x) + C$, odnosno $F'(x)=f(x)$ za svaki $x\in I\setminus A$, i nake je funkcija $F$ neprekidna na intervalu $I$. Tada za svaki $x\in I\setminus A$ vrijedi:

(i)

$(\int f(x) dx)'=f(x)$, odnosno derivacija integrala jednaka je podintegralnoj funkciji. Ovu jednakost također interpretiramo kao jednakost među funkcijama koja vrijedi na skupu $I\setminus A$.

(ii)

$d (\int f(x) dx)=f(x) dx$, odnosno diferenciranje poništava integriranje.

(iii)

$\int dF(x)=F(x)+C$, odnosno integriranje poništava diferenciranje do na konstantu.

Teorem 1.4   Neodređeni integral je linearan, odnosno

$$\int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_n f_n(x)) dx= \alpha_1 \int f_1(x) dx+\cdots + \alpha_n \int f_n(x) dx+C.$$

Dokaz.

Neka je $F_i:I\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $f_i$ za $i=1,\ldots,n$. To znači da je $(F_i(x))'=f_i(x)$ za svaki $x\in I\setminus A_i$, pri čemu je $A_i$ prebrojiv podskup od $I$, odnosno $\int f_i(x) dx=F_i(x)+C_i$. Dakle, jednakost

$$\alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x))'= \alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)$$

vrijedi za svaki $x\in I\setminus \bigcup_{i=i}^n A_i$. Kako je skup $\bigcup_{i=i}^n A_i$ također prebrojiv, zaključujemo da je funkcija $\alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)$ jedna primitivna funkcija funkcije $\alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)$. Stoga vrijedi

$$\int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)) dx = \alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)+K$$

$$=\alpha_1(\int f_1(x) dx-C_1)+\cdots$$

$$\quad + \alpha_n(\int f_n(x) dx-C_n) +K$$

$$= \alpha_1 \int f_1(x) dx+\cdots + \alpha_n \int f_n(x) dx+C,$$

gdje je $C=K-\alpha_1C_1-\cdots -\alpha_n C_n$.     

Q.E.D.

Natrag: NEODREĐENI INTEGRAL Gore: NEODREĐENI INTEGRAL   Naprijed: Tablica osnovnih integrala