Integriranje rastava na parcijalne razlomke

☰ matematika2

Rastavljanje na parcijalne razlomke Integriranje racionalnih funkcija Primjer

Integriranje rastava na parcijalne razlomke

Iz općeg oblika rastava na parcijalne razlomke (1.2), vidimo da se postupak integriranja racionalne funkcije svodi na rješavanje sljedećih tipova integrala:

1)

Integral oblika

$\displaystyle \int \frac{ dx}{(x-a)^n}=\left\{ \begin{aligned} x-a&=t, dx&= dt \end{aligned}\right\} = \int \frac{ dt}{t^n}=\cdots$

svodi se na tablični integral.

2)

Integral oblika

$\displaystyle \int \frac{x}{(x^2+ax+b)^n} dx$	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{2x+a-a}{(x^2+ax+b)^n} dx= \bigg\{ \begin{aligned}x^2+ax+b&=t, (2x+a) dx&= dt \end{aligned}\bigg\}$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^n}-\frac{a}{2} \int \frac{ dx}{(x^2+ax+b)^n}=\cdots$

svodi se na jedan tablični integral i na integral koji se dalje rješava postupkom opisanim u točki 3).

3)

Sljedeći tip integrala prvo svedemo na puni kvadrat, zatim primijenimo odgovarajuću supstituciju, te dobiveni integral riješimo pomoću rekurzivne formule iz poglavlja 1.3.1:

$\displaystyle \int \frac{ dx}{(x^2+ax+b)^n}$	$\displaystyle = \int \frac{ dx}{\big( (x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}\big)^... ... dx} {\bigg( \displaystyle \frac{(x+\frac{a}{2})^2}{b-\frac{a^2}{4}}+1\bigg)^n}$
	$\displaystyle = \bigg\{ \begin{aligned}\frac{x+\frac{a}{2}}{\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}}=t,\quad \frac{ dx}{\sqrt{b-\frac{a^2}{4}}}= dt \end{aligned}\bigg\}$
	$\displaystyle = \frac{1}{(b-\frac{a^2}{4})^{n-\frac{1}{2}}} \int \frac{ dt}{(1+t^2)^n}=\cdots$

Važno je uočiti da je izraz $\sqrt{b-a^2/4}$ dobro definiran. Naime, polinom

nema realnih nul-točaka, pa vrijedi

, odnosno izraz pod korijenom je veći od nule.

Rastavljanje na parcijalne razlomke Integriranje racionalnih funkcija Primjer