×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Svođenje na pravu racionalnu     Integriranje racionalnih funkcija     Integriranje rastava na parcijalne

Rastavljanje na parcijalne razlomke

Nakon što smo integral zadane racionalne funkcije sveli na integral prave racionalne funkcije, tu funkciju treba rastaviti na parcijalne razlomke. Kao posljedica osnovnog teorema algebre (vidi M1, poglavlje 4.6.8), polinom $q$ stupnja $n$ možemo rastaviti na faktore u obliku

$$q(x)= q_0+q_1 x+q_2x^2+\cdots q_n x^n=q_n(x-x_1)\cdots (x-x_n).$$

Ovdje su $x_1,\ldots,x_n$ realne ili kompleksne nul-točke, kompleksne nul-točke se uvijek javljaju u kompleksno-konjugiranim parovima, a nul-točke mogu biti i višestruke. Stoga možemo pisati

$$q(x)=q_n(x-x_1)^{r_1}\cdots(x-x_k)^{r_k}(x^2+a_1x+b_1)^{s_1}\cdots (x^2+a_lx+b_l)^{s_l},$$

pri čemu su $x_i$ međusobno različite realne nul-točke, kvadratni polinomi nemaju realnih nul-točaka, a nul-točke su im međusobno različite, $r_i,s_i\in\mathbb{N}$ i vrijedi

$$\sum_{i=1}^k r_i +2\sum_{i=1}^l s_i=n.$$

Nakon rastavljanja nazivnika $q$ na faktore, slijedi rastavljanje racionalne funkcije na parcijalne razlomke. Rastav ima oblik

$$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A_1}{x-x_1}+\cdots+\frac{A_{r_1}}{(x-x_1)^{r_1}}+\cdots+ \frac{B_1}{x-x_k}+\cdots+\frac{B_{r_k}}{(x-x_k)^{r_k}}+$$

$$\quad + \frac{C_1x+D_1}{x^2+a_1x+b_1}+\cdots+\frac{C_{s_1}x+D_{s_1}} {(x^2+a_1x+b_1)^{s_1}}+\cdots$$

$$\quad + \frac{E_1x+F_1}{x^2+a_lx+b_l}+\cdots+\frac{E_{s_l}x+D_{s_l}} {(x^2+a_lx+b_l)^{s_l}}.$$ (1.2)

Koeficijente $A_i,B_i,C_i,D_i,E_i, F_i$ odredimo tako da jednakost pomnožimo s $q(x)$ , izjednačimo koeficijente uz iste potencije, a zatim riješimo dobiveni sustav linearnih jednadžbi (vidi M1, poglavlje 2.4). Može se pokazati da dobiveni sustav uvijek ima jedinstveno rješenje i to upravo zbog svojstava funkcije $f=p/q$ .

Svođenje na pravu racionalnu     Integriranje racionalnih funkcija     Integriranje rastava na parcijalne