Natrag: Potenciranje s realnim   Gore: Pregled elementarnih funkcija   Naprijed: Logaritamska funkcija  

Eksponencijalna funkcija

Ako fiksiramo bazu $a\in \mathbb{R}^+=(0,\infty), a\neq 1$, tada možemo definirati funkciju

$$\exp_a : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^+, \quad \exp_a(x)\equiv \exp_a x = a^x,$$

čije se vrijednosti računaju po prethodnim pravilima potenciranja. Iz svojstva (P5) slijedi da je $\exp_a$ za $a>1$ strogo rastuća funkcija. Također, za $a>1$ funkcija $\exp_a$ ima horizontalnu asimptotu $y=0$ kada $x\to -\infty$. Nadalje, kako je

$$\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x},$$

to je funkcija $\exp_{\frac{1}{a}}$ simetrična funkciji $\exp_a$ s obzirom na $y$-os. Dakle, za $a<1$ funkcija $\exp_a$ je strogo padajuća i ima horizontalnu asimptotu $y=0$ kada $x\to +\infty$. $\exp_a$ je uvijek bijekcija (vidi sliku 4.23).

Slika 4.23: Eksponencijalne funkcije $2^x$ i $2^{-x}$

Napomena 4.9   Posebno se često koriste funkcije $10^x$ i $e^x$. Broj $e$ se zove baza prirodnih logaritama, definiran je kao

$$e=\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \lim_{x\to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x,$$

i približno je jednak $e\approx 2.7182\ldots$ (vidi sliku 4.24).

Slika 4.24: Funkcije $10^x$ i $e^x$

Natrag: Potenciranje s realnim   Gore: Pregled elementarnih funkcija   Naprijed: Logaritamska funkcija