Natrag: Koordinatizacija pravca   Gore: Koordinatizacija   Naprijed: Koordinatizacija prostora  

Koordinatizacija ravnine

U ravnini $\rho$ koja se nalazi u prostoru $\cal E$ prvo odaberemo točku $O$ kao ishodište. Zatim odaberemo međusobno okomite pravce $p$ i $q$ koji leže u ravnini $\rho$ i prolaze kroz točku $O$. Na pravcima $p$ i $q$ definiramo koordinatne sustave $(O,\mathbf{i})$ i $(O,\mathbf{j})$, redom, pri čemu je

$$% \mathbf{i}=\overrightarrow {OI}, \qquad \mathbf{j}=\overrightarrow {OJ}, \qquad \vert\mathbf{i}\vert=\vert\mathbf{j}\vert=1.$$

Točke $I$ i $J$ su odabrane tako da točka $I$ rotacijom oko točke $O$ za kut $\pi/2$ u pozitivnom smjeru, odnosno suprotno od kazaljke sata, prelazi u točku $J$. S ovim smo u ravnini $\rho$ zadali desni pravokutni (ortogonalni) koordinatni sustav $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$, koji je prikazan na slici 3.6.

Slika 3.6: Koordinatizacija ravnine

Brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac $p$ zove se apscisna os ili $x$-os, a brojevni pravac koji smo nanijeli na pravac $q$ zove se ordinatna os ili $y$-os. Osi dijele ravninu $\rho$ na četiri kvadranta i to na $I.$, $II.$, $III.$ i $IV.$ kvadrant (slika 3.6).

Neka točka $T$ pripada ravnini $\rho$. Pravac kroz točku $T$, koji je paralelan s pravcem $q$, siječe pravac $p$ u točki $P$. Točka $P$ u koordinatnom sustavu $(O,\mathbf{i})$ ima koordinatu $x$. Pravac kroz točku $T$ koji je paralelan s pravcem $p$ siječe pravac $q$ u točki $Q$. Točka $Q$ u koordinatnom sustavu $(O,\mathbf{j})$ ima koordinatu $y$. $x$ i $y$ su koordinate točke $T=(x,y)$ u sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$, odnosno $x$ je apscisa, a $y$ je ordinata točke $T$ (slika 3.6).

Neka je $\mathbf{a}=\overrightarrow {OT}$ radijus-vektor u ravnini $\rho$. Prema pravilu o zbrajanju vektora iz poglavlja 3.2 vrijedi (slika 3.6)

$$% \overrightarrow {OT}=x \overrightarrow {OI} + y \overrightarrow {OJ},$$

odnosno

$$% \mathbf{a}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}.$$

Brojevi $x$ i $y$ su skalarne komponente radijus-vektora $\overrightarrow{OT}$ odnosno vektora $\mathbf{a}$. Radijus-vektori $x \overrightarrow {OI}$ i $y \overrightarrow {OJ}$ su vektorske komponente radijus-vektora $\overrightarrow{OT}$, a vektori $x \mathbf{i}$ i $y \mathbf{j}$ su vektorske komponente vektora $\mathbf{a}$.

Kako su skalarne komponente jednoznačno određene točkom $T$, za označavanje vektora koristimo skraćene zapise

$$% \mathbf{a}=\{x,y\}, \qquad \mathbf{a}=\begin{bmatrix}x& y \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{a}=\begin{bmatrix}x y \end{bmatrix}.$$

Vidimo da vektor u ravnini možemo zapisati kao retčanu matricu dimenzije $1\times 2$ ili kao stupčanu matricu dimenzije $2\times 1$. Zbrajanje vektora i množenje vektora skalarom stoga odgovara zbrajanju matrica i množenju matrica skalarom.

Primjer 3.1   Neka je

$$% \mathbf{a}=2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{j}, \qquad \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}.$$

Tada je

$$% 3 (\mathbf{a}+\mathbf{b})=3 (2 \mathbf{i} - 3 \mathbf{j}+\mathbf{i}+\mathbf{j}) =9 \mathbf{i} -6 \mathbf{j},$$

odnosno

$$% 3 (\mathbf{a}+\mathbf{b})=3\left( \begin{bmatrix}2 -3 \end{... ...egin{bmatrix}1 1 \end{bmatrix}\right) =\begin{bmatrix}9 -6 \end{bmatrix}.$$

Poglavlje ćemo završiti s dvije definicije: vektori koji leže u ravnini $\rho$ su kolinearni ravnini $\rho$, a vektori su komplanarni ako imaju predstavnike koji su kolinearni jednoj ravnini. Na primjer, vektori $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ i $\mathbf{a}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}$ su komplanarni za $\forall x,y\in \mathbb{R}$.

Natrag: Koordinatizacija pravca   Gore: Koordinatizacija   Naprijed: Koordinatizacija prostora