Natrag: Kompleksni brojevi   Gore: Kompleksni brojevi   Naprijed: Eksponencijalni oblik  

Trigonometrijski oblik

Kao što se vidi na slici 1.2, kompleksni broj $z=x+iy$ je jednoznačno određen s modulom $r$ i s kutom $\varphi$ između radij-vektora $\overrightarrow{OT}$ i pozitivnog smjera $x$-osi. Kut $\varphi$ je argument broja $z$ , odnosno $\varphi =\arg z$.

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi

$$% z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi )=r\cos \varphi +ir\sin \varphi .$$

Veze između dva oblika su sljedeće: ako su zadani $r$ i $\varphi$, tada je

$$% x=\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z = r \cos \varphi , \qquad y=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=r\sin \varphi ,$$

a ako su zadani $x$ i $y$, tada je

$$% r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \varphi =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x},$$

pri čemu kvadrant u kojem se nalazi $\varphi$ treba odrediti sa slike odnosno iz predznaka od $x$ i $y$.

Primjer 1.4  

a)

Skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-i+1\vert\leq 2\}$$

je krug radijusa dva sa središtem u točki $z_0=i-1$ (vidi sliku 1.3). Zaista, iz definicije 1.19 slijedi

$$% \vert z-i+1\vert\leq 2 \Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\leq 2 \Leftrightarrow (x+1)^2+(y-1)^2\leq 4.$$

Općenito, skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_0\vert\leq r\}$$

je krug radijusa $r$ oko točke $z_0$.

b)

Skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: 0<\arg z <\frac{\pi}{3} \wedge \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z \geq 1\}$$

nacrtan je na slici 1.4. Pri tome se točke na iscrtkanom pravcu nalaze izvan skupa, kao i točka u kojoj se dva pravca sijeku.

c)

Skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-1\vert+\vert z+2\vert=5\}$$

je elipsa sa žarištima u točkama $z_1=1$ i $z_2=-2$ (vidi sliku 1.5).

Općenito, skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert+\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}$$

je skup svih točaka čiji je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke konstantan. Moguća su tri slučaja: ako je $\vert z_1-z_2\vert<r$, tada se radi o elipsi; ako je $\vert z_1-z_2\vert=r$, tada se radi o dužini koja spaja točke $z_1$ i $z_2$; a ako je $\vert z_1-z_2\vert>r$, tada se radi o praznom skupu.

Slika 1.3: Krug u kompleksnoj ravnini

Slika 1.4: Dio kompleksne ravnine

Slika 1.5: Elipsa u kompleksnoj ravnini

Zadatak 1.6   Dokažite da je elipsa iz primjera 1.4.c zadana s formulom

$$% \frac{(x+\frac{1}{2})^2}{6.25}+\frac{y^2}{4}=1.$$

Po uzoru na primjer 1.4.c analizirajte skup

$$% \{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert-\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}.$$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje jednostavno izvođenje računskih operacija. Adicioni teoremi daju

$$z_1\cdot z_2 = r_1(\cos \varphi _1+i\sin \varphi _1)\cdot r_2(\cos \varphi _2+i\sin \varphi _2)$$

$$= r_1r_2 [\cos \varphi _1\cos \varphi _2-\sin\varphi _1\sin \varphi _2 + i(\sin\varphi _1\cos \varphi _2+\cos\varphi _1\sin \varphi _2)]$$ (1.3)

$$= r_1r_2(\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i \sin(\varphi _1+\varphi _2)).$$

Slično, za $z_2\neq 0$ vrijedi

$$% \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} (\cos (\varphi _1-\varphi _2)+i \sin(\varphi _1-\varphi _2)).$$

Iz formule (1.3) indukcijom slijedi

$$% \prod_{k=1}^n z_k = \bigg(\prod_{k=1}^n r_k\bigg) \bigg( \cos ... ...sum_{k=1}^n \varphi _k\big) + i \sin \big(\sum_{k=1}^n \varphi _k\big) \bigg).$$

Kada u gornju formulu uvrstimo $z_1=\cdots= z_n=z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$, dobijemo Moivreovu formulu za potenciranje s prirodnim brojem

$$z^n=r^n(\cos n\varphi +i \sin n\varphi ).$$ (1.4)

Nadalje, $n$-ti korijen kompleksnog broja $z$ je svaki kompleksni broj koji podignut na $n$-tu potenciju daje $z$. Vrijedi

$$\sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{r} \bigg( \cos \frac{\varp... ...\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi +2k\pi}{n} \bigg), \quad k\in \{ 0,1,2,\ldots,n-1\}.$$ (1.5)

Naime, primjenom Moivreove formule (1.4) vidimo da svaki od brojeva na desnoj strani podignut na $n$-tu potenciju daje broj $z$, pa je stoga jednak $n$-tom korijenu iz $z$. Zaključujemo da svaki kompleksni broj, osim nule, ima $n$ međusobno različitih $n$-tih korijena koji svi leže na središnjoj kružnici radijusa $\sqrt[n]{r}$ i dijele tu kružnicu na $n$ jednakih dijelova.

Primjer 1.5   Izračunajmo $\sqrt[6]{1}=\sqrt[6]{1+0i}$. Trigonometrijski oblik glasi

$$% 1=1\cdot (\cos 0 + i \sin 0),$$

pa formula (1.5) daje

$$% \sqrt[6]{1}=1\cdot \bigg( \cos \frac{0+2k\pi}{6}+i\sin \frac{0+2k\pi}{6}\bigg), \quad k=0,1,2,3,4,5.$$

Uvrštavanje vrijednosti za $k$ daje šest različitih šestih korijena:

$$w_0 =\cos 0 + i \sin 0 = 1,$$

$$w_1 =\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$w_2 =\cos \frac{2\pi}{3}+ i \sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$w_3 =\cos \pi + i \sin \pi = -1,$$

$$w_4 =\cos \frac{4\pi}{3}+ i \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2},$$

$$w_5 =\cos \frac{5\pi}{3}+ i \sin \frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Zadatak 1.7   Nacrtajte sve kompleksne šeste korijene od jedan iz primjera 1.5 i uvjerite se da dijele jediničnu kružnicu na šest jednakih dijelova. Zatim izračunajte i nacrtajte $\sqrt[6]{-1}$, $\sqrt[4]{i}$ i $\sqrt[3]{1+i \sqrt{3}}$.

Natrag: Kompleksni brojevi   Gore: Kompleksni brojevi   Naprijed: Eksponencijalni oblik