×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Trigonometrijski oblik     Kompleksni brojevi     LINEARNA ALGEBRA

Eksponencijalni oblik

Eksponencijalni ili Eulerov oblik kompleksnog broja glasi

$$% e^{i\varphi }=\cos \varphi + i \sin \varphi .$$

Ova formula slijedi iz Taylorovih razvoja funkcija $\sin x$ , $\cos x$ i $e^x$ danih u primjeru 6.19 i zadatku 6.5. Kada formalno uvrstimo $i\varphi$ umjesto $x$ u Taylorov razvoj funkcije $e^x$ , dobit ćemo

$$e^{i\varphi } =1+\frac{i\varphi }{1!}+\frac{i^2\varphi ^2}{2!}+\frac{i^3\varphi... ...ac{i^5\varphi ^5}{5!}+\frac{i^6\varphi ^6}{6!}+ \frac{i^7\varphi ^7}{7!}+\cdots$$

$$=1+i\frac{\varphi }{1!}-\frac{\varphi ^2}{2!}-i\frac{\varphi ^3}{... ...!}+i\frac{\varphi ^5}{5!}-\frac{\varphi ^6}{6!}- i\frac{\varphi ^7}{7!}+\cdots.$$

Red na desnoj strani je apsolutno konvergentan pa po teoremu 6.12 smijemo prvo zbrojiti realne, a zatim imaginarne članove pa Taylorovi razvoji funkcija $\cos x$ i $\sin x$ daju

$$e^{i\varphi } =\bigg(1-\frac{\varphi ^2}{2!}+\frac{\varphi ^4}{4!}- \frac{\varp... ...\frac{\varphi ^3}{3!}+\frac{\varphi ^5}{5!}- \frac{\varphi ^7}{7!}+\cdots\bigg)$$

$$=\cos \varphi +i \sin \varphi .$$

Pomoću Eulerovog oblika možemo definirati potenciranje s kompleksnim eksponentom

$$e^z=e^{x+iy}=e^x\cdot e^{iy} = e^x (\cos y + i \sin y).$$