Sustav lovac-plijen

Populacija ptica (lovci) i insekata (plijen) modelirana je jednadžbama

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$	$\displaystyle = 0.4 x-0.002 xy$
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$	$\displaystyle = -0.2 y+0.000008 xy.$

Odredite rješenja ravnoteže (konstantna rješenja) i objasniti njihovo značenje?

Rješenje.

Konstantna rješenja dobivamo rješavanjem sustava jednadžbi

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$	$\displaystyle =0.$

Izlučivanjem zajedničkih faktora u jednadžbama dobivamo

$\displaystyle x(0.4-0.002y)$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle y(-0.2+0.000008x)$	$\displaystyle =0.$

Prvo rješenje sustava je $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle y=0$ . To je trivijalno rješenje u slučaju da u sustavu nema ni ptica niti insekata. Drugo rješenje sustava je $\displaystyle x=25000$ , $\displaystyle y=200$ pa zaključujemo da ćemo uravnoteženost populacije postići s

ptica i

insekata, odnosno,

insekata je dovoljno da održi konstantnom populaciju od

ptica.

Sustavi diferencijalnih jednadžbi DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Zadaci za vježbu