×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Sustav lovac-plijen     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Rješenja zadataka za vježbu


Zadaci za vježbu

1.
Provjerite da li je $ \displaystyle\varphi (x)=\frac{1}{x}$ rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime
}=x^{2}+y^{2}$ .

2.
Odredite diferencijalnu jednadžbu za familiju krivulja $ \displaystyle\frac{x^{2}}{c^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ .

3.
Odredite krivulju iz familije krivulja $ \displaystyle y=c_{1}\sin
(x-c_{2})$ , koja zadovoljava početne uvjete $ y(\pi )=1$ , $ y^{\prime
}(\pi )=0$ .

4.
Populacija je modelirana diferencijalnom jednadžbom $ \displaystyle \frac{dP}{dt}=1.2P\left( 1-\frac{P}{4200}\right) $ .

a)
Za koje vrijednosti od $ P$ populacija raste?

b)
Za koje vrijednosti od $ P$ populacija pada?

5.
Kolač je izvađen iz pećnice na $ 200^{\circ }C$ . Nakon $ 10$ minuta temperatura kolača bila je $ 150^{\circ }C$ . Za koliko će vremena kolač biti na temperaturi od $ 30^{\circ }C$ ako je sobna temperatura $ 20^{\circ }C$ ?

6.
Vrijeme poluraspada izotopa stroncija $ ^{90}Sr$ je $ 25$ godina. Početna masa uzorka $ ^{90}Sr$ je $ 18$ mg.

a)
Izračunajte masu koja ostaje nakon $ t$ godina.

b)
Koliko vremena treba da se masa smanji na $ 2$ mg?

7.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime }x^{3}=2y$ .

8.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle xy^{\prime }+y=y^{2}$ .

9.
Nađite rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle \displaystyle e^{y}(1+x^{2})dy-2x(1+e^{y})dx=0$

uz početni uvjet $ \displaystyle y(0)=0$ .

10.
Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:
a)
$ \displaystyle y^{\prime }=\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}$ ,

b)
$ \displaystyle\left( y^{\prime }-\frac{y}{x}\right)
\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{y}{x}=1$ ,

c)
$ \displaystyle(2x-y+4) dy+(x-2y+5) dx=0$ ,

d)
$ \displaystyle y^{\prime }=\frac{1-3x-3y}{1+x+y}$ ,

e)
$ \displaystyle(x^{2}-y) dx+(y^{2}-x) dy=0$ ,

f)
$ \displaystyle2xy\ln y dx+(x^{2}+y^{2}\sqrt{y^{2}+1}) dy=0$ , $ \lambda
=\lambda (y)$ ,

g)
$ \displaystyle\left( x\cos y-y\sin y\right)  dy+\left( x\sin y+y\cos y\right)
 dx=0$ , $ \lambda =\lambda (x)$ .

11.
Odredite jednadžbu ortogonalne trajektorije familije krivulja $ \displaystyle x^{2}+y^{2}=2ax$ koja prolazi kroz točku $ (1,1)$ .

12.
Odredite ortogonalne trajektorije familije krivulja $ \displaystyle y^{2}=ax$ .

13.
Nađite ortogonalne trajektorije familije krivulja $ \displaystyle xy=a$ .

14.
Odredite singularna rješenja jednadžbe $ \displaystyle y^{2}(y^{\prime })^{2}+y^{2}-1=0$

15.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime }+y\cos x=\sin x\cos x$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $ \displaystyle y(\frac{\pi }{2})=1$ .

16.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle\left( 1-x^{2}\right) y^{\prime }+2xy-4x=0$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $ \displaystyle y(0)=-1$ .

17.
Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:
a)
$ \displaystyle xy^{\prime }+\left( x+1\right) y=3x^{2}e^{-x}$ ,

b)
$ \displaystyle y=x\left( y^{\prime }-x\cos x\right) $ ,

c)
$ \displaystyle y^{\prime }+xy=x^{3}y^{3}$ ,

d)
$ \displaystyle y^{\prime }-ytgx=y^{4}\cos x$ ,

e)
$ \displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x^{2}y^{4}$ .

18.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle xy^{\prime }-y\left( 2y\ln x-1\right) =0$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $ \displaystyle y(1)=1$ .

19.
Eulerovom metodom s korakom $ 0.5$ izračunajte približnu vrijednost $ y\left( 2\right) $ ako je $ y=y\left(x\right)
$ rješenje početnog problema $ \displaystyle y^{\prime }=x\sin (x+y),\quad y\left( -1\right) =1$ .

20.
Eulerovom metodom s korakom $ 0.2$ izračunajte približnu vrijednost $ y\left(1\right) $ ako je $ y=y\left(x\right)
$ rješenje početnog problema $ \displaystyle y^{\prime }=2xy^{2},\quad y\left( 0\right) =1$ .

21.
Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:
a)
$ \displaystyle y^{\prime \prime }=2\sin x\cos ^{2}x-\sin ^{3}x$ ,

b)
$ \displaystyle(1+x)y^{\prime \prime }+y^{\prime }=0$ ,

c)
$ \displaystyle y^{\prime \prime }+2y(y^{\prime })^{3}=0$ ,

d)
$ \displaystyle2y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$ ,

e)
$ \displaystyle y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+13y=0$ .

22.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$ , te partikularno rješenje uz početne uvjete $ \displaystyle y(0)=0$ , $ \displaystyle y^{\prime}(0)=1$ .

23.
Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:
a)
$ \displaystyle y^{\prime \prime }-2y^{\prime }=x^{2}-x$ ,

b)
$ \displaystyle y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^{2x}$ ,

c)
$ \displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+10y=37\cos 3x$ ,

d)
$ \displaystyle 2y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=4xe^{2x}$ .

24.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{(4)}-81y=27e^{-3x}$ .

25.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+4y=\sin (2x)+e^{2x}$ .

26.
Metodom varijacije konstanti odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}+2y^{\prime}+y=\sqrt x\cdot e^{-x}$ .

27.
Metodom varijacije konstanti odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin ^3 x}$ .

28.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+4y=e^{-2x} \ln x$ metodom varijacije konstanti.

29.
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}-3y^{\prime}+2y=e^x(3-4x)$ metodom varijacije konstanti te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja.

30.
Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi
$\displaystyle \frac{dy}{dx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y+z$  
$\displaystyle \frac{dz}{dx}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x+y+z.$  

31.
Odredite ono rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 3z-y$  
$\displaystyle \frac{dz}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle y+z+e^t,$  

koje zadovoljava početne uvjete $ y(0)=0$ , $ z(0)=0$ .

32.
Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi
$\displaystyle \frac{dy}{dx} +2y+z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$  
$\displaystyle \frac{dz}{dx} -4y-2z$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x.$  

33.
Populacije biljnih ušiju (eng. aphids) i bubamara (eng. ladybugs) modelirane su jednadžbama
$\displaystyle \frac{dA}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2A-0.01AL$  
$\displaystyle \frac{dL}{dt}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -0.5L+0.0001AL.$  

a)
Odredite rješenja ravnoteže i objasnite njihovo značenje.
b)
Odredite izraz za $ \displaystyle
\frac{dL}{dA}$ .


Sustav lovac-plijen     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Rješenja zadataka za vježbu