Princip superpozicije rješenja

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}=e^{2x}+5$ .

Rješenje.

Ako je desna strana diferencijalne jednadžbe zbroj više funkcija

$\displaystyle f(x)=f_1(x)+f_2(x)+\cdots +f_n(x),$

a $\displaystyle y_i$ su partikularna rješenja pojedinih jednadžbi $\displaystyle y^{\prime \prime}+py^{\prime}+qy=f_i(x)$ za $i=1,2,\ldots,n$ , onda je zbroj tih rješenja,

$\displaystyle y_P=y_1+y_2+\cdots +y_n,$

partikularno rješenje polazne jednadžbe.

Pripadna homogena jednadžba zadane diferencijalne jednadžbe glasi $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}=0$ , a njena karakteristična jednadžba $\displaystyle \lambda ^2-2\lambda =0$ ima rješenja $\displaystyle \lambda _1=0$ i $\displaystyle \lambda _2=2$ . Dakle, opće rješenje homogene jednadžbe je $\displaystyle y_H(x)=C_1+C_2e^{2x}$ .

Odredimo sada partikularno rješenje $\displaystyle y_1$ diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}=e^{2x}$ . Iz (5.7) slijedi , , i pa je $y_1(x)=Axe^{2x}$ za neku konstantu . Nakon uvrštavanja i sređivanja slijedi $A=\frac{1}{2}$ .

Prema (5.7), partikularno rješenje jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}=5$ ima oblik $\displaystyle y_2(x)=Bx$ (sada je , , i ), a uvrštavanje daje $B=-\frac{5}{2}$ .

Iz svega dobivenog zaključujemo da je opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle \displaystyle y(x)=C_1+C_2e^{2x}+\frac{1}{2}xe^{2x}-\frac{5}{2}x.$

Homogene LDJ višeg reda DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Metoda varijacije konstanti