×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Populacijska jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Jednadžbe sa separiranim varijablama


Logistička jednadžba

Vijesti se šire gradom tako da je brzina širenja vijest proporcionalna produktu dijela stanovništva $ y$ koji su čuli vijest i dijela stanovništva koji nisu čuli vijest. Gradić ima 1000 stanovnika. U $ 8$ sati, vijest je čulo 80 ljudi, a do podne ju je čulo pola grada.

a)
Napišite diferencijalnu jednadžbu koju $ y$ zadovoljava i riješite je.

b)
U kojem će trenutku $ 90\%$ stanovništva znati vijest?

Rješenje.

a)
Vrijedi

$\displaystyle y^{\prime }$ $\displaystyle =ky\left( 1000-y\right),$    

pa je

$\displaystyle \frac{dy}{y\left( 1000-y\right) }$ $\displaystyle =k dt$    
$\displaystyle \frac{1}{1000}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1000-y}\right) dy$ $\displaystyle =k dt.$    

Integriranjem dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{1000}\ln \frac{y}{1000-y}$ $\displaystyle =kt+\ln C$    
$\displaystyle \ln \frac{y}{1000-y}$ $\displaystyle =1000kt+1000\ln C$    
$\displaystyle \frac{y}{1000-y}$ $\displaystyle =Ae^{1000kt}.$    

b)
Zadano je

$\displaystyle y\left( 0\right)$ $\displaystyle =80$    
$\displaystyle y\left( 4\right)$ $\displaystyle =500$    
$\displaystyle y\left( t_{0}\right)$ $\displaystyle =900.$    

želimo izračunati $ t_{0}$ . Iz rješenja pod $ (a)$ slijedi

$\displaystyle \frac{80}{1000-80}=A\Rightarrow A=0.08696$    

i

$\displaystyle \frac{500}{1000-500}=0.08696 e^{400 k}\Rightarrow k=0.00061,$    

pa je

$\displaystyle \frac{y}{1000-y}=0.08696 e^{0.61 t_{0}}.$    

Ako uvrstimo $ \displaystyle y\left( t_{0}\right) =900$ dobivamo

$\displaystyle \frac{900}{1000-900}=0.08696 e^{0.61 t_{0}}$    

iz čega je

$\displaystyle t_{0}=\frac{\ln \frac{9}{0.08696}}{0.61}=7.6.$    

Dakle u $ 8$ sati $ +$ $ 7.6$ , odnosno u $ 15$ sati i $ 36$ minuta $ 900$ ljudi će znati vijest.


Populacijska jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Jednadžbe sa separiranim varijablama