×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Logistička jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene diferencijalne jednadžbe


Jednadžbe sa separiranim varijablama

a)
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle x+xy+y^{\prime }\left( y+xy\right) =0$ .

b)
Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle\left( 1+x^{2}\right) y^{\prime }+y\sqrt{1+x^{2}}=xy$ te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjet $ \displaystyle y\left( 0\right) =1$ .

Rješenje.

a)
Uvrštavanjem $ \displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{ dx}$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle \frac{x}{1+x} dx=-\frac{y}{1+y}dy.$    

Ovo je diferencijalna jednadžba separiranih varijabli [*][M2, poglavlje 5.2], pa je rješavamo integriranjem:

$\displaystyle \int \frac{x}{1+x} dx$ $\displaystyle =-\int \frac{y}{1+y}dy$    
$\displaystyle \int \frac{x+1-1}{1+x} dx$ $\displaystyle =-\int \frac{y+1-1}{1+y}dy$    
$\displaystyle \int dx-\int \frac{1}{1+x} dx$ $\displaystyle =-\int dy+\int \frac{1}{1+y}dy$    
$\displaystyle x-\ln \left\vert x+1\right\vert$ $\displaystyle =-y+\ln \left\vert y+1\right\vert +C.$    

Sređivanjem dobivamo

$\displaystyle x+y-\left( \ln \left\vert x+1\right\vert +\ln \left\vert y+1\right\vert \right) +\ln C$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle x+y-\ln C\left( x+1\right) \left( y+1\right)$ $\displaystyle =0.$    

b)
Uvrštavanjem $ \displaystyle y^{\prime }=\frac{dy}{ dx}$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle \left( 1+x^{2}\right) \frac{dy}{ dx}$ $\displaystyle =xy-y\sqrt{1+x^{2}}$    
$\displaystyle \left( 1+x^{2}\right) dy$ $\displaystyle =y\left( x-\sqrt{1+x^{2}}\right) dx$    
$\displaystyle \frac{dy}{y}$ $\displaystyle =\frac{x-\sqrt{1+x^{2}}}{1+x^{2}} dx$    
$\displaystyle \int \frac{dy}{y}$ $\displaystyle =\int \frac{x-\sqrt{1+x^{2}}}{1+x^{2}} dx$    
$\displaystyle \int \frac{dy}{y}$ $\displaystyle =\int \frac{x}{1+x^{2}} dx-\int \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{ 1+x^{2}} dx$    
$\displaystyle \ln \left\vert y\right\vert$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \frac{d\left( x^{2}+1\right) }{1+x^{2}}-\int \frac{ dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$    
$\displaystyle \ln \left\vert y\right\vert$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left( 1+x^{2}\right) -\ln \left\vert x+\sqrt{x^{2}+1}\right\vert +\ln C.$    

Vrijedi

$\displaystyle \ln \left\vert y\right\vert -\ln \sqrt{1+x^{2}}+\ln \left\vert x+\sqrt{ x^{2}+1}\right\vert +\ln C$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \ln \frac{Cy\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) }{\sqrt{1+x^{2}}}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \frac{Cy\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) }{\sqrt{1+x^{2}}}$ $\displaystyle =e^{0}$    
$\displaystyle Cy\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$ $\displaystyle =\sqrt{1+x^{2}}.$    

Za početni uvjet $ y\left( 0\right) =1$ dobivamo

$\displaystyle C \left( 0+\sqrt{0^{2}+1}\right) =\sqrt{1+0^{2}},$    

iz čega slijedi $ C=1$ , odnosno, partikularno rješenje za ovaj početni uvjet je

$\displaystyle y\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) =\sqrt{1+x^{2}}.$    

Logistička jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Homogene diferencijalne jednadžbe