×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Uvod     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Logistička jednadžba

Populacijska jednadžba

Kultura bakterija u početku ima $1000$ bakterija. Stopa rasta proporcionalna je broju bakterija. Nakon $2$ sata populacija je narasla na $9000$ jedinki. Odredite izraz koji daje broj bakterija nakon $t$ sati. Odredite broj bakterija nakon $10$ sati.

Rješenje.

Zadani uvjeti su slijedeći:

$$P\left( 0\right) =1000$$

$$P\left( 2\right) =9000.$$

Želimo izračunati $P\left( t\right)$ , a zatim i $P\left( 10\right)$ koristeći formulu za populacijsku jednadžbu [M2, poglavlje 5.1]. Integriranjem jednadžbe

$$\frac{dP}{ dt}=kP$$

dobivamo

$$P\left( t\right) =Ae^{kt}$$ (5.1)

Iz uvjeta za početnu populaciju slijedi

$$P\left( 0\right) =A=1000\Rightarrow P\left( t\right) =1000\cdot e^{kt}.$$

Iz veličine populacije nakon dva sata slijedi

$$9000=1000\cdot e^{2k},$$

pa je

$$k=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3.$$

Uvrštavanjem u (5.1) dobivamo

$$P\left( t\right) =1000\cdot e^{t\ln 3} .$$

Nakon $10$ sati broj bakterija bit će

$$P\left( 10\right) =1000\cdot e^{10\ln 3}$$

$$P\left( 10\right) =59049000.$$

Uvod     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Logistička jednadžba