×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Populacijska jednadžba


Uvod

a)
Provjerite je li $ \displaystyle\varphi \left( x\right) =e^{
\sqrt{1-x^{2}}}$ rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle xy+
\sqrt{1-x^{2}}\cdot y^{\prime }=0$ .

b)
Pokažite da je svaki član familije krivulja $ \displaystyle
y=Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$ rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime }=xy$ , te odredite ono rješenje koje zadovoljava početni uvjet $ \displaystyle y\left( 1\right) =2$ .

c)
Odredite diferencijalnu jednadžbu čije je rješenje familija krivulja $ \displaystyle y=Cx+C^{2}$ .

d)
Odredite krivulju iz familije krivulja $ \displaystyle
y=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}$ za koju je $ \displaystyle y\left( 0\right) =1$ i $ \displaystyle y^{\prime }\left( 0\right) =-2$ .

Rješenje.

a)
Provjeru vršimo uvrštavanjem $ \varphi \left( x\right) $ u zadanu diferencijalnu jednadžbu. Prvo računamo derivaciju od $ \varphi \left( x\right) $

$\displaystyle \varphi ^{\prime }\left( x\right) =e^{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{-2x}{2\sqrt{
 1-x^{2}}}=\frac{-xe^{\sqrt{1-x^{2}}}}{\sqrt{1-x^{2}}}.$    

Uvrštavanjem dobivamo

$\displaystyle x\cdot e^{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{-xe^{\sqrt{1-x^{2}}}}{
 \sqrt{1-x^{2}}}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle x\cdot e^{\sqrt{1-x^{2}}}-xe^{\sqrt{1-x^{2}}}$ $\displaystyle =0$    
0 $\displaystyle =0.$    

Dakle, $ \varphi \left( x\right) $ jest rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle xy+
\sqrt{1-x^{2}}\cdot y^{\prime }=0$ .

b)
Uvrštavanjem $ Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu $ \displaystyle y^{\prime }=xy$ , dobivamo

$\displaystyle Ce^{\frac{x^{2}}{2}}x$ $\displaystyle =xCe^{\frac{x^{2}}{2}},$    

pa $ Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$ jest rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime }=xy$ . Preostaje još pronaći ono rješenje koje zadovoljava početni uvjet $ \displaystyle y\left( 1\right) =2$ .

$\displaystyle y\left( 1\right)$ $\displaystyle =2\Rightarrow 2=Ce^{\frac{1}{2}}$    
$\displaystyle C$ $\displaystyle =2e^{-\frac{1}{2}}.$    

Traženo partikularno rješenje dobije se uvrštavanjem dobivene konstante $ C$ u opće rješenje.

$\displaystyle y$ $\displaystyle =Ce^{\frac{x^{2}}{2}},C=2e^{-\frac{1}{2}}$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =2e^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{x^{2}}{2}}=2e^{\frac{1}{2}\left(
 x^{2}-1\right) }.$    

c)
Zadanu familiju krivulja prvo deriviramo s ciljem eliminiranja konstante $ C$ :

$\displaystyle y$ $\displaystyle =Cx+C^{2}$    
$\displaystyle y^{\prime }$ $\displaystyle =C.$    

Uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$\displaystyle y=xy^{\prime }+\left( y^{\prime }\right) ^{2}.$    

d)
Vrijedi

$\displaystyle y$ $\displaystyle =C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}$    
$\displaystyle y^{\prime }$ $\displaystyle =C_{1}e^{x}+4C_{2}e^{-2x}.$    

Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo

$\displaystyle y\left( 0\right)$ $\displaystyle =1\Rightarrow 1=C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{-2\cdot 0}$    
$\displaystyle y^{\prime }\left( 0\right)$ $\displaystyle =-2\Rightarrow -2=C_{1}e^{0}+4C_{2}e^{-2\cdot
 0}.$    

Rješenje sustava

$\displaystyle 1$ $\displaystyle =C_{1}-2C_{2}$    
$\displaystyle -2$ $\displaystyle =C_{1}+4C_{2}$    

je $ \displaystyle C_{1}=0$ i $ \displaystyle C_{2}=-\frac{1}{2}$ , pa se tra žena krivulja dobije uvrštavanjem tih konstanti u zadanu familiju krivulja:

$\displaystyle y=-2\left( -\frac{1}{2}\right) e^{-2x}\Rightarrow y=e^{-2x}.$    


DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Populacijska jednadžba