×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Populacijska jednadžba

Uvod

a)

Provjerite je li $$\varphi \left( x\right) =e^{ \sqrt{1-x^{2}}}$$ rješenje diferencijalne jednadžbe $$xy+ \sqrt{1-x^{2}}\cdot y^{\prime }=0$$ .

b)

Pokažite da je svaki član familije krivulja $$y=Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$$ rješenje diferencijalne jednadžbe $$y^{\prime }=xy$$ , te odredite ono rješenje koje zadovoljava početni uvjet $$y\left( 1\right) =2$$ .

c)

Odredite diferencijalnu jednadžbu čije je rješenje familija krivulja $$y=Cx+C^{2}$$ .

d)

Odredite krivulju iz familije krivulja $$y=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}$$ za koju je $$y\left( 0\right) =1$$ i $$y^{\prime }\left( 0\right) =-2$$ .

Rješenje.

a)

Provjeru vršimo uvrštavanjem $\varphi \left( x\right)$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu. Prvo računamo derivaciju od $\varphi \left( x\right)$

$$\varphi ^{\prime }\left( x\right) =e^{\sqrt{1-x^{2}}}\frac{-2x}{2\sqrt{ 1-x^{2}}}=\frac{-xe^{\sqrt{1-x^{2}}}}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$

Uvrštavanjem dobivamo

$$x\cdot e^{\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{1-x^{2}} \frac{-xe^{\sqrt{1-x^{2}}}}{ \sqrt{1-x^{2}}} =0$$

$$x\cdot e^{\sqrt{1-x^{2}}}-xe^{\sqrt{1-x^{2}}} =0$$

$$=0.$$ 0

Dakle, $\varphi \left( x\right)$ jest rješenje diferencijalne jednadžbe $$xy+ \sqrt{1-x^{2}}\cdot y^{\prime }=0$$ .

b)

Uvrštavanjem $Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$ u zadanu diferencijalnu jednadžbu $$y^{\prime }=xy$$ , dobivamo

$$Ce^{\frac{x^{2}}{2}}x =xCe^{\frac{x^{2}}{2}},$$

pa $Ce^{\frac{x^{2}}{2}}$ jest rješenje diferencijalne jednadžbe $$y^{\prime }=xy$$ . Preostaje još pronaći ono rješenje koje zadovoljava početni uvjet $$y\left( 1\right) =2$$ .

$$y\left( 1\right) =2\Rightarrow 2=Ce^{\frac{1}{2}}$$

$$C =2e^{-\frac{1}{2}}.$$

Traženo partikularno rješenje dobije se uvrštavanjem dobivene konstante $C$ u opće rješenje.

$$y =Ce^{\frac{x^{2}}{2}},C=2e^{-\frac{1}{2}}$$

$$y =2e^{-\frac{1}{2}}e^{\frac{x^{2}}{2}}=2e^{\frac{1}{2}\left( x^{2}-1\right) }.$$

c)

Zadanu familiju krivulja prvo deriviramo s ciljem eliminiranja konstante $C$ :

$$y =Cx+C^{2}$$

$$y^{\prime } =C.$$

Uvrštavanjem u zadanu diferencijalnu jednadžbu dobivamo

$$y=xy^{\prime }+\left( y^{\prime }\right) ^{2}.$$

d)

Vrijedi

$$y =C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}$$

$$y^{\prime } =C_{1}e^{x}+4C_{2}e^{-2x}.$$

Uvrštavanjem početnih uvjeta dobivamo

$$y\left( 0\right) =1\Rightarrow 1=C_{1}e^{0}-2C_{2}e^{-2\cdot 0}$$

$$y^{\prime }\left( 0\right) =-2\Rightarrow -2=C_{1}e^{0}+4C_{2}e^{-2\cdot 0}.$$

Rješenje sustava

$$1 =C_{1}-2C_{2}$$

$$-2 =C_{1}+4C_{2}$$

je $$C_{1}=0$$ i $$C_{2}=-\frac{1}{2}$$ , pa se tra žena krivulja dobije uvrštavanjem tih konstanti u zadanu familiju krivulja:

$$y=-2\left( -\frac{1}{2}\right) e^{-2x}\Rightarrow y=e^{-2x}.$$

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Populacijska jednadžba