×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom     NEODREĐENI INTEGRAL     Metoda neodređenih koeficijenata

Eulerova i trigonometrijska supstitucija

Izračunajte integrale:

a)

$$\int \frac{ dx}{1+\sqrt{x^{2}+2x+2}}$$ ,

b)

$$\int \sqrt{3-2x-x^{2}} dx$$ ,

Rješenje.

a)

Koristimo Eulerovu supstituciju [M2, poglavlje 1.7.2]. Vrijedi

$$\int \frac{ dx}{1+\sqrt{x^{2}+2x+2}} =\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{x^{2}+2x+2}=t-x x=\frac{t^{2}-... ...+2} dx=\frac{t^{2}+2t+2}{2\left( t+1\right) ^{2}} dt \end{array} \right\}$$

$$=\int \frac{\frac{t^{2}+2t+2}{2\left( t+1\right) ^{2}}}{1+t-\frac... ...eft( t+1\right) ^{2}}}{\frac{ 2t+2+2t^{2}+2t-t^{2}+2}{2\left( t+1\right) }} dt$$

$$=\int \frac{\frac{t^{2}+2t+2}{t+1}}{t^{2}+4t+4} dt=\frac{t^{2}+2t+2}{( t+2) ^{2}( t+1) } dt$$

$$=\left\{ \begin{array}{c} \frac{t^{2}+2t+2}{\left( t+2\right) ^{2... ...}+\frac{C}{\left( t+2\right) ^{2}} A=1, B=0, C=-2 \end{array} \right\}$$

$$=\int \frac{dt}{t+1}-2\int \frac{dt}{\left( t+2\right) ^{2}}$$

$$=\ln \left\vert t+1\right\vert -2\int \left( t+2\right) ^{-2}d\left( t+2\right)$$

$$=\ln \left\vert t+1\right\vert +2\left( t+2\right) ^{-1}+C$$

$$=\ln \left\vert \sqrt{x^{2}+2x+2}+x+1\right\vert$$

$$\quad +2\left( \sqrt{x^{2}+2x+2} +x+2\right) ^{-1}+C.$$

b)

Izraz pod korijenom nadpounjavamo do punog kvadrata, a zatim uvodimo dvije supstitucije:

$$\int \sqrt{3-2x-x^{2}} dx =\int \sqrt{4-\left( 1+x\right) ^{2}} dx=\left\{ \begin{array}{c} x+1=t dx= dt \end{array} \right\}$$

$$=\int \sqrt{4-t^{2}} dt=\left\{ \begin{array}{c} t=2\sin z dt=2\cos zdz \end{array} \right\}$$

$$=\int 2\cos z2\cos zdz=4\int \cos ^{2}zdz$$

$$=2\int \left( 1+2\cos z\right) dz=2\left( z+\frac{1}{2}\sin 2z\right) +C$$

$$=2\left( z+\sin z\sqrt{1-\sin ^{2}z}\right) +C$$

$$=2\arcsin \frac{t}{2}+t\sqrt{1-\frac{t^{2}}{4}}+C$$

$$=2\arcsin \frac{x+1}{2}+\left( x+1\right) \sqrt{1-\frac{\left( x+1\right) ^{2}}{4}}+C$$

$$=2\arcsin \frac{x+1}{2}+\frac{x+1}{2}\sqrt{3-2x-x^{2}}+C.$$

Integriranje iracionalnih funkcija racionalnom     NEODREĐENI INTEGRAL     Metoda neodređenih koeficijenata