×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Primjene određenog integrala     Primjene određenog integrala     Duljina luka ravninske krivulje

Površina ravninskog lika

Površinu između krivulja $y=f(x)$ i $y=g(x)$ od točke $a$ do točke $b$ računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata površine (slika 2.12). Elementi površine su beskonačno mali pravokutnici s bazom $dx$ i visinom $f(x)-g(x)$ .

Slika: Površina ravninskog lika i element površine

Površina se računa formulom

$$P=\int\limits _{[a,b]} dP =\int\limits _a^b (f(x)-g(x)) dx.$$ (2.1)

Primjer 2.6   Površina između krivulja $y=x^2$ i $y=\sqrt{x}$ dana je s (vidi sliku 2.13)

$$P=\int\limits _0^1 (\sqrt{x}-x^2) dx=\frac{2}{3}x^{3/2} -\frac{x^3}{3} \bigg\vert _0^1 =\frac{1}{3}.$$

Slika: Površina ravninskog lika I

Kod računanja površina kao varijablu integracije možemo uzeti $x$ ili $y$ , ovisno o tome što je povoljnije.

Primjer 2.7   Izračunajmo površinu omeđenu krivuljama $y^2=x$ i $y=x-2$ (slika 2.14). Da bi odredili granice integracije prvo moramo naći sjecišta krivulja. Izjednačavanje daje $y^2=y+2$ , odnosno krivulje se sijeku u točkama $M=(1,-1)$ i $N=(4,2)$ .

Ako za varijablu integracije odaberemo $y$ , onda je $y\in[-1,2]$ , gornja funkcija dana je s $x=f(y)=y+2$ , a donja funkcija dana je s $x=g(y)=y^2$ . Dakle,

$$P=\int\limits _{-1}^2((y+2)-y^2) dy =\frac{y^2}{2} + 2y -\frac{y^3}{3} \bigg\vert _{-1}^2 = \frac{9}{2}.$$

Ako za varijablu integracije odaberemo $x$ , onda integral moramo rastaviti na dva dijela. U tom slučaju vrijedi

$$P=\int\limits _0^1 (\sqrt{x}-(-\sqrt{x})) dx+\int\limits _1^4 (\sqrt{x}-(x-2)) dx =\cdots =\frac{9}{2}.$$

Slika: Površina ravninskog lika II

Pomoću određenog integrala možemo izvesti dobro poznate formule za površinu elipse i kružnice.

Primjer 2.8   Neka je zadana elipsa

$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1.$$ (2.2)

Zadana elipsa ima središte u točki $S=(x_0,y_0)$ , a polu-osi su joj duge $a$ i $b$ (slika 2.15).

Slika: Površina elipse

Očito je $x\in[x_0-a,x_0+a]$ , a gornja i donja funkcija dane su s

$$f(x)=y_0+b \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}, \qquad g(x)=y_0-b \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}.$$

Površina elipse dana je s

$$P =\int\limits _{x_0-a}^{x_0+a} \bigg[y_0+b \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}} -\bigg(y_0-b \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}\bigg) \bigg] dx$$

$$=\int\limits _{x_0-a}^{x_0+a} 2 b \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}} dx.$$

Trigonometrijska supstitucija iz poglavlja 1.7 daje

$$P = \bigg\{ \begin{aligned}\frac{x-x_0}{a}=\sin t, \quad t&=\arcsin... ...vert c\vert c} x& x_0-a & x_0+a \hline t & -\pi/2 & \pi/2 \end{array} \bigg\}$$

$$= 2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 t} \cos t dt= 2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \vert\cos t\vert \cos t dt.$$

Kako je na promatranom intervalu $\cos t\geq 0$ , koristeći poznatu vezu između funkcija $\cos^2 t$ i $\cos 2 t$ imamo

$$P =2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 t dt =2 a b \in... ..., dt= a b \bigg[ t+\frac{1}{2} \sin 2t \bigg] \bigg\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}$$

$$= a b \pi.$$

Za $a=b=r$ formula (2.2) prelazi u jednadžbu kružnice radijusa $r$ s centrom u točki $S=(x_0,y_0)$ ,

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2,$$

čija je površina jednaka $P=r^2\pi$ .

Zadatak 2.3  

a)

Riješite primjer 2.8 pomoću supstitucije $(x-x_0)/a=\cos t$ .

b)

Riješite primjer 2.8 integrirajući po varijabli $y$ .

Parametarski zadana krivulja

Kod parametarski zadane krivulje

$$x=\varphi (t),\qquad y=\psi(t), \qquad t\in [t_1,t_2],$$

računamo površinu između te krivulje i pravca $y=c$ , $c\in\mathbb{R}$ . Pri tome treba voditi računa o tome je li $x=\varphi (t)$ rastuća ili padajuća funkcija i ovisno o tome postaviti integral, odnosno odabrati granice integriranja tako da je prirast $dx=\dot \varphi dt$ nenegativan.

Primjer 2.9   Izračunajmo površinu ispod jednog luka cikloide (slika 2.16),

$$x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t), \qquad a>0, \quad t\in[0,2 \pi].$$

Slika: Površina ispod jednog luka cikloide

Tražena površina jednaka je

$$P=\int\limits _0^{2\pi} [ a(1-\cos t)-0] \cdot a (1-\cos t) dt= a^2 \int\limits _0^{2\pi} (1-\cos t)^2 dt=3a^2\pi.$$

Formulu za površinu elipse iz primjera 2.8 možemo još jednostavnije izvesti pomoću parametarski zadane funkcije.

Primjer 2.10   Elipsa iz primjera 2.8 parametarski je zadana s

$$x=x_0+a\cos t,\qquad y=y_0+b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].$$

Kada usporedimo ove formule s formulom (2.2) i slikom 2.15, vidimo da za $t$ od 0 do $\pi$ prirast $dx$ pada. Međutim, da bismo mogli ispravno primijeniti formulu (2.1) $dx$ mora rasti. Problem ćemo riješiti tako što ćemo izračunati površinu donje polovice elipse, od elipse do pravca $y=y_0$ , u kojem slučaju $dx$ raste kada $t$ raste od $\pi$ do $2\pi$ . Dakle,

$$P =2 \int\limits _{\pi}^{2\pi} [y_0-(y_0+b\sin t) ] \cdot a(-\sin t) dt =2 a b \int\limits _{\pi}^{2\pi} \sin^2 t dt$$

$$= 2 a b \int\limits _{\pi}^{2\pi}\frac{1}{2} (1-\cos 2t) dt=a b \pi.$$

Krivulja zadana u polarnim koordinatama

U polarnom koordinatnom sustavu točka $T=(x,y)$ zadaje se pomoću kuta $\varphi$ kojeg polupravac koji izlazi iz ishodišta i prolazi točkom $T$ zatvara s $x$ -osi i udaljenošću $r$ točke $T$ od ishodišta (slika 2.17).

Slika 2.17: Polarni koordinatni sustav

Transformacije iz polarnog u Kartezijev koordinatni sustav vrše se prema formulama

$$x =r\cos \varphi ,$$

$$y =r\sin \varphi .$$ (2.3)

Transformacije iz Kartezijevog u polarni koordinatni sustav vrše se prema formulama

$$r =\sqrt{x^2+y^2},$$

$$\varphi =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x},$$

pri čemu se kvadrant u kojem se nalazi kut $\varphi$ odredi sa slike ili iz kombinacije predznaka od $x$ i $y$ . Vidimo da su gornje formule identične formulama za trigonometrijski oblik kompleksnog broja (vidi M1, poglavlje 1.8.1).

Traženje površine likova zadanih u polarnom koordinatnom sustavu prikazano je na slici 2.18. U polarnom koordinatnom sustavu krivulju zadajemo formulom

$$r=f(\varphi ), \qquad \varphi \in\mathcal{D}\subseteq\mathbb{R}.$$

Zbog prirode samog sustava obično tražimo površinu između krivulje $r=f(\varphi )$ i zraka $\varphi =\varphi _1$ i $\varphi =\varphi _2$ . Shodno tome, element površine u polarnom koordinatnom sustavu je kružni isječak radijusa $r$ s kutom $d\varphi$ , odnosno

$$dP=\frac{1}{2} r^2 d\varphi .$$

Kao i u Kartezijevim koordinatama površina je jednaka beskonačnoj (integralnoj) sumi beskonačno malih elemenata površine, odnosno

$$P=\int\limits _{[\varphi _1,\varphi _2]} dP=\frac{1}{2}\int\limit... ... \frac{1}{2}\int\limits _{\varphi _1}^{\varphi _2} f^2(\varphi ) d\varphi .$$

Slika: Element površine u polarnim koordinatama

U polarnom koordinatnom sustavu jednostavno se izvodi formulu za površinu kruga.

Primjer 2.11   Neka je zadana kružnica polumjera $R$ sa središtem u točki $T=(x_0,y_0)$ ,

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.$$

Ako ishodište polarnog koordinatnog sustava postavimo u središte kružnice (slika 2.19), onda kružnica ima jednadžbu $r=R$ (konstantna funkcija!), pa je

$$P=\frac{1}{2} \int\limits _0^{2\pi} R^2 d\varphi = \frac{1}{2} R^2 \varphi \ \bigg\vert _0^{2\pi} = R^2 \pi.$$

Slika: Površina kruga u polarnim koordinatama

Linearne funkcije u polarnim koordinatama su spirale.

Primjer 2.12   Izračunajmo površinu određenu prvim zavojem Arhimedove spirale (slika 2.20),

$$r=a \varphi , \qquad a>0,\qquad \varphi \geq 0.$$

Vrijedi

$$P=\frac{1}{2} \int\limits _0^{2\pi} (a \varphi )^2 d\varphi ... ..., a^2 \frac{\varphi ^3}{3} \bigg\vert _0^{2\pi} =\frac{4}{3} a^2 \pi^3.$$

Primijetimo da je tražena površina jednaka trećini površine kružnice radijusa $2 a \pi$ .

Slika 2.20: Arhimedova spirala $r=a\varphi$

Primjene određenog integrala     Primjene određenog integrala     Duljina luka ravninske krivulje