×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Kompleksni brojevi     Kompleksni brojevi     Eksponencijalni oblik


Trigonometrijski oblik

Kao što se vidi na slici 1.2, kompleksni broj $ z=x+iy$ je jednoznačno određen s modulom $ r$ i s kutom $ \varphi $ između radij-vektora $ \overrightarrow{OT}$ i pozitivnog smjera $ x$ -osi. Kut $ \varphi $ je argument broja $ z$ , odnosno $ \varphi =\arg z$ .

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja glasi

$\displaystyle %
z=r(\cos \varphi + i \sin \varphi )=r\cos \varphi +ir\sin \varphi .
$

Veze između dva oblika su sljedeće: ako su zadani $ r$ i $ \varphi $ , tada je

$\displaystyle %
x=\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits z = r \cos \varphi , \qquad y=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z=r\sin \varphi ,
$

a ako su zadani $ x$ i $ y$ , tada je

$\displaystyle %
r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}, \qquad \varphi =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x},
$

pri čemu kvadrant u kojem se nalazi $ \varphi $ treba odrediti sa slike odnosno iz predznaka od $ x$ i $ y$ .

Primjer 1.4  
a)
Skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: \vert z-i+1\vert\leq 2\}
$

je krug radijusa dva sa središtem u točki $ z_0=i-1$ (vidi sliku 1.3). Zaista, iz definicije 1.19 slijedi

$\displaystyle %
\vert z-i+1\vert\leq 2 \Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}\leq 2
\Leftrightarrow (x+1)^2+(y-1)^2\leq 4.
$

Općenito, skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_0\vert\leq r\}
$

je krug radijusa $ r$ oko točke $ z_0$ .
b)
Skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: 0<\arg z <\frac{\pi}{3} \wedge \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits z \geq 1\}
$

nacrtan je na slici 1.4. Pri tome se točke na iscrtkanom pravcu nalaze izvan skupa, kao i točka u kojoj se dva pravca sijeku.
c)
Skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: \vert z-1\vert+\vert z+2\vert=5\}
$

je elipsa sa žarištima u točkama $ z_1=1$ i $ z_2=-2$ (vidi sliku 1.5).

Općenito, skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert+\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}
$

je skup svih točaka čiji je zbroj udaljenosti do dvije fiksne točke konstantan. Moguća su tri slučaja: ako je $ \vert z_1-z_2\vert<r$ , tada se radi o elipsi; ako je $ \vert z_1-z_2\vert=r$ , tada se radi o dužini koja spaja točke $ z_1$ i $ z_2$ ; a ako je $ \vert z_1-z_2\vert>r$ , tada se radi o praznom skupu.

Slika 1.3: Krug u kompleksnoj ravnini
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/komkrug.eps,width=6.0cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 1.4: Dio kompleksne ravnine
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/komrav.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}

Slika 1.5: Elipsa u kompleksnoj ravnini
\begin{figure}\begin{center}
\leavevmode
\epsfig{file=slike/komel.eps,width=8.4cm}
\end{center}\end{figure}

Zadatak 1.6   Dokažite da je elipsa iz primjera 1.4.c zadana s formulom

$\displaystyle %
\frac{(x+\frac{1}{2})^2}{6.25}+\frac{y^2}{4}=1.
$

Po uzoru na primjer 1.4.c analizirajte skup

$\displaystyle %
\{ z\in \mathbb{C}: \vert z-z_1\vert-\vert z-z_2\vert=r, z_1\neq z_2, r>0\}.
$

Trigonometrijski oblik kompleksnog broja omogućuje jednostavno izvođenje računskih operacija. Adicioni teoremi daju

$\displaystyle z_1\cdot z_2$ $\displaystyle = r_1(\cos \varphi _1+i\sin \varphi _1)\cdot r_2(\cos \varphi _2+i\sin \varphi _2)$    
  $\displaystyle = r_1r_2 [\cos \varphi _1\cos \varphi _2-\sin\varphi _1\sin \varphi _2 + i(\sin\varphi _1\cos \varphi _2+\cos\varphi _1\sin \varphi _2)]$ (1.3)
  $\displaystyle = r_1r_2(\cos (\varphi _1+\varphi _2)+i \sin(\varphi _1+\varphi _2)).$    

Slično, za $ z_2\neq 0$ vrijedi

$\displaystyle %
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}
(\cos (\varphi _1-\varphi _2)+i \sin(\varphi _1-\varphi _2)).
$

Iz formule (1.3) indukcijom slijedi

$\displaystyle %
\prod_{k=1}^n z_k = \bigg(\prod_{k=1}^n r_k\bigg)
\bigg( \cos ...
...sum_{k=1}^n \varphi _k\big) + i \sin \big(\sum_{k=1}^n
\varphi _k\big) \bigg).
$

Kada u gornju formulu uvrstimo $ z_1=\cdots= z_n=z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$ , dobijemo Moivreovu formulu za potenciranje s prirodnim brojem

$\displaystyle z^n=r^n(\cos n\varphi +i \sin n\varphi ).$ (1.4)

Nadalje, $ n$ -ti korijen kompleksnog broja $ z$ je svaki kompleksni broj koji podignut na $ n$ -tu potenciju daje $ z$ . Vrijedi

$\displaystyle \sqrt[n]{z}=z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{r} \bigg( \cos \frac{\varp...
...\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi +2k\pi}{n} \bigg), \quad k\in \{ 0,1,2,\ldots,n-1\}.$ (1.5)

Naime, primjenom Moivreove formule (1.4) vidimo da svaki od brojeva na desnoj strani podignut na $ n$ -tu potenciju daje broj $ z$ , pa je stoga jednak $ n$ -tom korijenu iz $ z$ . Zaključujemo da svaki kompleksni broj, osim nule, ima $ n$ međusobno različitih $ n$ -tih korijena koji svi leže na središnjoj kružnici radijusa $ \sqrt[n]{r}$ i dijele tu kružnicu na $ n$ jednakih dijelova.

Primjer 1.5   Izračunajmo $ \sqrt[6]{1}=\sqrt[6]{1+0i}$ . Trigonometrijski oblik glasi

$\displaystyle %
1=1\cdot (\cos 0 + i \sin 0),
$

pa formula (1.5) daje

$\displaystyle %
\sqrt[6]{1}=1\cdot \bigg( \cos \frac{0+2k\pi}{6}+i\sin
\frac{0+2k\pi}{6}\bigg), \quad k=0,1,2,3,4,5.
$

Uvrštavanje vrijednosti za $ k$ daje šest različitih šestih korijena:

$\displaystyle w_0$ $\displaystyle =\cos 0 + i \sin 0 = 1,$    
$\displaystyle w_1$ $\displaystyle =\cos \frac{\pi}{3}+ i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$    
$\displaystyle w_2$ $\displaystyle =\cos \frac{2\pi}{3}+ i \sin \frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2},$    
$\displaystyle w_3$ $\displaystyle =\cos \pi + i \sin \pi = -1,$    
$\displaystyle w_4$ $\displaystyle =\cos \frac{4\pi}{3}+ i \sin \frac{4\pi}{3}=-\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2},$    
$\displaystyle w_5$ $\displaystyle =\cos \frac{5\pi}{3}+ i \sin \frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2}.$    

Zadatak 1.7   Nacrtajte sve kompleksne šeste korijene od jedan iz primjera 1.5 i uvjerite se da dijele jediničnu kružnicu na šest jednakih dijelova. Zatim izračunajte i nacrtajte $ \sqrt[6]{-1}$ , $ \sqrt[4]{i}$ i $ \sqrt[3]{1+i \sqrt{3}}$ .


Kompleksni brojevi     Kompleksni brojevi     Eksponencijalni oblik