×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Pregled elementarnih funkcija

Asimptote

Asimptota funkcije je pravac sa svojstvom da udaljenost između točke na grafu funkcije i tog pravca teži k nuli kada točka na grafu odmiče u beskonačnost. Funkcija može imati vertikalne, horizontalne i kose asimptote.

Pravac $x=x_0$ je vertikalna asimptota funkcije $f$ u točki $x_0$ s lijeve strane ako je $\lim_{x\to x_0-0}f(x)=+\infty$ ili $\lim_{x\to x_0-0}f(x)=-\infty$ . Analogno, pravac $x=x_0$ je vertikalna asimptota funkcije $f$ u točki $x_0$ s desne strane ako je $\lim_{x\to x_0+0}f(x)=+\infty$ ili $\lim_{x\to x_0+0}f(x)=-\infty$ . Vertikalne asimptote se mogu nalaziti u točkama prekida funkcije ili u otvorenim rubovima područja definicije.

Na primjer, pravac $x=0$ je vertikalna asimptota funkcije $\frac{1}{x}$ s obje strane (slika 4.12). Pravac $x=0$ je vertikalna asimptota funkcija $\ln x$ , $\log x$ i $\log_2 x$ (slika 4.25) s desne strane. U ovom slučaju vertikalna asimptota se nalazi u rubu područja definicije.

Pravac $y=y_0$ je horizontalna asimptota funkcije $f$ u lijevoj strani ako je $\lim_{x\to -\infty}f(x)=y_0$ . Analogno, pravac $y=y_0$ je horizontalna asimptota funkcije $f$ u desnoj strani ako je $\lim_{x\to +\infty}f(x)=y_0$ . Na primjer pravac $y=0$ je horizontalna asimptota funkcije $\frac{1}{x}$ u obje strane, kao i $y=0$ horizontalna asimptota funkcija $2^x$ i $e^x$ u lijevoj strani (slika 4.23).

Ako je

$$\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x}=k, \qquad \lim_{x\to -\infty} (f(x)-kx)=l,$$ (4.5)

pri čemu je

$$k\neq 0,-\infty,+\infty, \qquad l\neq -\infty,+\infty,$$

tada je pravac $y=kx+l$ kosa asimptota funkcije $f$ u lijevoj strani. Kosu asimptotu funkcije $f$ u desnoj strani definiramo analogno.

Izvedimo formule (4.5). Prema slici 4.16 udaljenost od točke na krivulji do asimptote je $d(M,L)$ . Prema definiciji asimptote $d(M,L)\to 0$ kada $x\to +\infty$ . Kako je $\cos \alpha\neq 0$ konstanta, zaključujemo da

$$d(M,L)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0 \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to +\infty} \vert f(x)-(kx+l)\vert=0.$$

Zadnji uvjet, koji je ekvivalentan s

$$\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx-l)=0$$ (4.6)

je očito nužan i dovoljan uvjet za postojanje kose asimptote. Gornja jednakost je ekvivalentna s $\lim_{x\to +\infty} (f(x)-kx)=l$ . Nadalje, (4.6) povlači

$$\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)-kx-l}{x}=0,$$

pa je $\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{x}=k$ .

Slika 4.16: Kosa asimptota

Primjer 4.11   Ispitajmo ponašanje funkcije

$$f(x)=\frac{x^2}{1+x}$$

u desnoj strani. Vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty} f(x)= \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}{(1+x)\cdot\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{0+0}=+\infty$$

pa funkcija nema horizontalnu asimptotu u desnoj strani.

Potražimo kosu asimptotu: vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1+x}=1$$

pa je $k=1$ . Potražimo $l$ : vrijedi

$$\lim_{x\to +\infty}(f(x)-kx)= \lim_{x\to +\infty}\bigg(\frac{x^2}{1+x}-x\bigg)= \lim_{x\to +\infty}\frac{-x}{1+x}=-1$$

pa je $l=-1$ . Dakle, pravac $y=x-1$ je kosa asimptota funkcije $f$ u desnoj strani.

Zadatak 4.7   Ispitajte ponašanje funkcije iz primjera 4.11 u lijevoj strani i u točki prekida $x=-1$ . Pokušajte skicirati funkciju.

Primjer 4.12   Asimptote možemo tražiti i kod parametarski zadanih funkcija. Dokažimo da je pravac $y=-x-1$ kosa asimptota Descartesovog lista iz primjera 4.2 kao što je prikazano na slici 4.6. Descartesov list je u parametarskom obliku zadan s formulama kao u primjeru 4.4:

$$x=x(t)=\frac{3\,t^2}{t^3+1},\qquad y=y(t)=\frac{3\,t}{t^3+1}, \qquad t\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}.$$

Kako su $x$ i $y$ funkcije parametra $t$ , prvo moramo utvrditi za koje vrijednosti parametra $x$ teži u beskonačno. Vrijedi

$$\lim_{t\to -1-0} x(t) =\lim_{t\to -1-0}\frac{3\,t^2}{t^3+1}= \frac{3\,(-1)^2}{(-1-0)^3+1}=\frac{3}{-0}=-\infty,$$

$$\lim_{t\to -1+0} x(t) =\lim_{t\to -1+0}\frac{3\,t^2}{t^3+1}= \frac{3\,(-1)^2}{(-1+0)^3+1}=\frac{3}{+0}=+\infty.$$

Potražimo prvo kosu asimptotu u lijevoj strani. Formule (4.5) primjenjujemo na sljedeći način:

$$k =\lim_{x\to -\infty}\frac{y}{x}= \lim_{t\to -1-0}\frac{y(t)}{x(t)... ...ac{\frac{3\,t}{t^3+1}}{\frac{3\,t^2}{t^3+1}}=\lim_{t\to -1-0} \ \frac{1}{t}=-1,$$

$$l =\lim_{x\to -\infty} (y-kx)=\lim_{t\to -1-0}(y(t)-(-1)x(t)) =\lim_{t\to -1-0}\bigg(\frac{3\,t}{t^3+1}+\frac{3\,t^2}{t^3+1}\bigg)$$

$$=\lim_{t\to -1-0} 3\,t\frac {1+t}{t^3+1}= \lim_{t\to -1-0}\,\frac{3\,t}{t^2-t+1}=\frac{3\,(-1)}{(-1)^2-(-1)+1}$$

$$=-1.$$

Dakle, pravac $y=-x-1$ je kosa asimptota Descartesovog lista u lijevoj strani. Slično se pokaže da je isti pravac kosa asimptota i u desnoj strani .

Vrste prekida     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Pregled elementarnih funkcija