×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Ortogonalne trajektorije     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog


Singularna rješenja

Odredite singularna rješenja diferencijalnih jednadžbi

a)
$ \displaystyle2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}=0 $ ,

b)
$ \displaystyle\left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}=4\left(
1-y\right) $ .

Rješenje.

a)
Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po $ y^{\prime }$ dobivamo

$\displaystyle 2y-2xy^{\prime }=0.$    

Da bi dobili potencijalna singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe rješavamo sustav:

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle 2y-2xy^{\prime }$ $\displaystyle =0.$    

Iz druge jednadžbe slijedi

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{y}{x}$    

pa uvrštavanjem u prvu dobivamo

$\displaystyle 2y\left( \frac{y}{x}+2\right) -x\left( \frac{y}{x}\right) ^{2}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \frac{2y^{2}}{x}+4y-\frac{y^{2}}{x}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \frac{y^{2}}{x}+4y$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle y^{2}+4xy$ $\displaystyle =0.$    

Rješenja ove jednadžbe su

$\displaystyle y_{1}=0,\quad y_{2}=-4x.$    

Da bi to bila singularna rješenja zadane diferencijalne jednadžbe nužno je i dovoljno je da je zadovoljavaju, pa ćemo to i provjeriti: za $ \displaystyle y_{1}=0$ je

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$ $\displaystyle =0$    
0 $\displaystyle =0,$    

pa $ \displaystyle y_{1}=0$ jest singularno rješenje. Za $ \displaystyle y_{2}=-4x$ je

$\displaystyle 2y\left( y^{\prime }+2\right) -x\left( y^{\prime }\right) ^{2}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle -8x\left( -4+2\right) -16x$ $\displaystyle =0$    
0 $\displaystyle =0,$    

pa je i $ \displaystyle y_{2}=-4x$ singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.

b)
Deriviranjem zadane diferencijalne jednadžbe po $ y^{\prime }$ dobivamo

$\displaystyle 2y\left( 2-3y\right) ^{2}=0.$    

Rješimo sustav:

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$ $\displaystyle =4\left( 1-y\right)$    
$\displaystyle 2y^{\prime }\left( 2-3y\right) ^{2}$ $\displaystyle =0.$    

Iz prve jednadžbe slijedi

$\displaystyle y^{\prime }=\frac{2\sqrt{1-y}}{2-3y},$    

pa uvrštavanjem u drugu dobivamo

$\displaystyle 2\frac{2\sqrt{1-y}}{2-3y}\left( 2-3y\right) ^{2}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \sqrt{1-y}\left( 2-3y\right)$ $\displaystyle =0.$    

Rješenja ove jednadžbe su

$\displaystyle y_{1}=1, \quad y_{2}=\frac{2}{3}.$    

Provjerimo zadovoljavaju li ova rješenja početnu diferencijalnu jednadžbu: za $ \displaystyle y_{1}=1$ je

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$ $\displaystyle =4\left( 1-y\right)$    
0 $\displaystyle =0,$    

pa $ \displaystyle y_{1}=1$ jest singularno rješenje. Za $ \displaystyle y_{2}=\frac{2}{3}$ je

$\displaystyle \left( y^{\prime }\right) ^{2}\left( 2-3y\right) ^{2}$ $\displaystyle =4\left( 1-y\right)$    
$\displaystyle \left( 0\right) ^{2}\left( 2-3\frac{2}{3}\right) ^{2}$ $\displaystyle =4\left( 1-\frac{2}{3
 }\right)$    
0 $\displaystyle =\frac{4}{3},$    

pa $ \displaystyle y_{2}=\frac{2}{3}$ nije singularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe.


Ortogonalne trajektorije     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog