×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Egzaktne diferencijalne jednadžbe i     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Singularna rješenja


Ortogonalne trajektorije

Odredite ortogonalne trajektorije familije elipsa $ \displaystyle
x^{2}+y^{2}=a^{2}$ .

Rješenje.

Derivirajnem dobivamo

$\displaystyle 2x+4yy^{\prime }$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle x+2yy^{\prime }$ $\displaystyle =0.$    

Diferencijalna jednadžba ortogonalnih trajektorija zadane familije elipsa dobije se uvrštavanjem $ \displaystyle-\frac{1}{y^{\prime }}$ umjesto $ \displaystyle y^{\prime}$ :

$\displaystyle x+2y\left( -\frac{1}{y^{\prime }}\right)$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle x$ $\displaystyle =\frac{2y}{y^{\prime }}$    
$\displaystyle y^{\prime }$ $\displaystyle =\frac{2y}{x}.$    

Ovo je diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama pa vrijedi

$\displaystyle \frac{dy}{ dx}$ $\displaystyle =\frac{2y}{x}$    
$\displaystyle \int \frac{dy}{y}$ $\displaystyle =\int\frac{2 dx}{x}$    
$\displaystyle \ln y$ $\displaystyle =2\ln x+C$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =Cx^{2}.$    

Dakle, rješenje je familija parabola $ y=Cx^{2}$ .


Egzaktne diferencijalne jednadžbe i     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Singularna rješenja