×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Volumen tijela     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Integral ovisan o parametru

Koordinate težišta homogenog tijela

Izračunajte koordinate težišta homogenog stošca visine $h$ i radijusa baze $R$ .

Rješenje.

Odredimo najprije jednadžbu stošca. Opća jednadžba centralnog stošca je $$x^2+y^2=az^2$$ . Iz $z=h$ i $$x^2+y^2=R^2$$ dobijemo $$ah^2=R^2$$ , odnosno $a=\left(\displaystyle \frac{R}{h}\right)^2$ . Prema tome, jednadžba zadanog stošca je

$$x^2+y^2=\left(\frac{R}{h}\right)^2z^2$$

Prema [M2, poglavlje 4.5], koordinate težišta su dane sa

$$\bar x=\frac{M_{yz}}{m},\qquad \bar y=\frac{M_{xz}}{m},\qquad \bar z=\frac{M_{xy}}{m}$$

gdje su $M_{yz}$ , $M_{xz}$ i $M_{xy}$ momenti stošca oko koordinatnih ravnina. Zbog simetrije težište leži na osi $z$ , pa je $\bar x=0$ i $\bar y=0$ .

Stožac ima konstantnu gustoću, što znači da je njegova masa jednaka umnošku gustoće i volumena

$$m = \iiint\limits_V \rho dV =\rho \iiint\limits_V dV =\rho \frac{hR^2\pi}{3}$$

a moment oko koordinatne ravnine $xy$

$$M_{xy}=\iiint\limits_V z\rho dV=\rho\iiint\limits_V z dV$$

Prema tome je

$$\bar{z}=\frac{M_{xy}}{m}=\frac{\rho \iiint\limits_{V}z dV}{\rho \iiint\limits_{V}dV}=\frac{\iiint\limits_{V}z dV}{\iiint\limits_{V}dV}$$

Uvedimo cilindrične koordinate

$$x =r\cos \varphi$$

$$y =r\sin \varphi$$

$$z =z$$

Vrijedi

$$\iiint\limits_{V}z dV =\iint\limits_{V_{xy}} dx dy\int\limits_{\frac{h}{ R}\sqrt{x^{... ...^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{R}r dr\int\limits_{\frac{h}{R}r}^{h}z dz$$

$$=\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{\bigg\vert}}\int\limits_{0}... ...t\limits_{0}^{R}r\left( \frac{h^{2}}{2}-\frac{h^{2}r^{2}}{ 2R^{2}}\right) dr$$

$$=\pi h^{2}\int\limits_{0}^{R}\left( r-\frac{r^{3}}{R^{2}}\right) ... ...c{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4R^{2}}\right) \underset{0}{\overset {R}{\bigg\vert}}$$

$$=\pi h^{2}\left( \frac{R^{2}}{2}-\frac{R^{4}}{4R^{2}} -0\right) =\frac{h^{2}R^{2}\pi }{4}$$

Dakle,

$$\bar{z}=\frac{\frac{h^{2}R^{2}\pi }{4}}{\frac{hR^{2}\pi }{3}}=\frac{3h}{4}$$

odnosno, koordinate težišta su

$$T=\left(0,0,\frac{3h}{4}\right)$$

Volumen tijela     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Integral ovisan o parametru