×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Sferne koordinate u trostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Koordinate težišta homogenog tijela

Volumen tijela

Izračunajte uz pomoć trostrukog integrala volumen tijela omeđenog plohama

a)

$$2z=x^{2}+y^{2}$$ i $$y+z=4$$ ,

b)

$$x^{2}+y^{2}+z^2=a^{2}$$ i $$z^{2}=x^{2}+y^{2}$$ izvan stošca.

Rješenje.

a)

Tijelo omeđeno paraboloidom $$2z=x^{2}+y^{2}$$ i ravninom $$y+z=4$$ prikazano je na slici 4.14.

Slika: Tijelo omeđeno paraboloidom $$2z=x^{2}+y^{2}$$ i ravninom $$y+z=4$$ , i njegova projekcija na $xy$ ravninu.

Odredimo projekciju tijela na $xy$ ravninu. Iz

$$z =-y+4$$

$$2z =x^{2}+y^{2}$$

izjednačavanjem $z=z$ dobijemo

$$2\left( -y+4\right) =x^{2}+y^{2}$$

odnosno

$$x^{2}+\left( y+1\right) ^{2}=9.$$

Ovo je jednadžba kružnice polumjera $3$ sa središtem $S\left( 0,-1\right)$ . Uvedimo pomaknute cilindrične koordinate:

$$x=r\cos\varphi$$

$$y+1 =r\sin \varphi$$

$$z=z$$

Vrijedi $J=r$ , $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$ , $r\in \left[ 0,3\right]$ i

$$\frac{x^{2}+y^{2}}{2} \leq z\leq 4-y \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{r^{2}\cos ^{2}\varphi +\left( -1+r\sin \varphi \right) ^{2}}{2} \leq z\leq 4-\left( -1+r\sin \varphi \right) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{r^{2}\cos ^{2}\varphi +1-2r\sin \varphi +r^{2}\sin ^{2}\varphi }{2} \leq z\leq 5-r\sin \varphi \Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{r^{2}+1-2r\sin \varphi }{2} \leq z\leq 5-r\sin \varphi.$$

Volumen je jednak

$$V =\iiint\limits_{V} dx dy dz=\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi ... ...frac{r^{2}+1-2r\sin \varphi }{2}}{\overset{5-r\sin \varphi }{\bigg\vert}} dr$$

$$=\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{3}r\left( 5-r... ...,d\varphi \int\limits_{0}^{3}\left( \frac{9}{2} r-\frac{1}{2}r^{3}\right) dr$$

$$=\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{\bigg\vert}}\left( \frac{9r... ...\bigg\vert}}=2\pi \left( \frac{81}{4}-\frac{81}{8}-0\right) =\frac{81\pi }{4}$$

b)

Tijelo omeđeno zadanim stošcem i sferom za $a=4$ je prikazano na slici 4.15.

Slika: Tijelo omeđeno sferom $$x^{2}+y^{2}+z^2=4$$ i stošcem $$z^{2}=x^{2}+y^{2}$$ (izvan stošca).

Uvedimo sferne koordinate

$$x =r\sin \Theta \cos \varphi$$

$$y =r\sin \Theta \sin \varphi$$

$$z =r\cos \Theta$$

Vrijedi $J=r^{2}\sin \Theta$ , $\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$ , i $r\in \left[ 0,a\right]$ . Presjek stošca $z^{2}=x^{2}+y^{2}$ i ravnine $x=0$ ( $yz$ koordinatne ravnine) čine pravci $z=-y$ i $z=y$ , pa je $\Theta \in \left[ \frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$ . Volumen je

$$V =\iiint\limits_{V} dx dy dz=\iiint\limits_{V} r^{2}\sin \Thet... ...pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\sin \Theta d\Theta \int\limits_{0}^{a} r^{2} dr$$

$$=\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{\bigg\vert}}\left( -\cos \T... ... }{4}+\cos \frac{\pi }{4}\right) \frac{a^{3}}{3}= \frac{2\pi \sqrt{2}}{3}a^{3}$$

Sferne koordinate u trostrukom     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Koordinate težišta homogenog tijela