Eliptične koordinate u dvostrukom integralu

Integral $\displaystyle \iint\limits_{S} \sqrt {4-\frac{x^2}{4}-y^2} dx dy$ izrazite u eliptičkim koordinatama. Izračunajte integral ako je dio prstena omeđen elipsama $\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$ i $\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ u prvom kvadrantu.

Rješenje.

Područje integracije prikazano je na Slici 4.5. Uvedimo nove varijable $\varphi$ i supstitucijom

$\displaystyle x=ar\cos\varphi =2r\cos\varphi$ , $\displaystyle \quad\quad y=br\sin\varphi =r\sin\varphi$ .

(4.2)

Pri tom su

poluosi manje elipse na koordinatnim osima (isto tako smo za

mogli uzeti i poluosi veće elipse). Izračunajmo Jakobijan

[M2, teorem 4.2] za

i za eliptične koordinate.

$\displaystyle J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial... ... br\cos \varphi \end{vmatrix} =abr\cos ^{2}\varphi +abr\sin ^{2}\varphi =abr$

Dakle, za

Jakobijan je

**Slika:** Područje integracije $S=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\quad 1\le r\le 2\}$ .
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl19_dvostruki_integral.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

Trebamo pronaći jednadžbe dviju rubnih elipsa u novim, eliptičkim koordinatama:

$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1\quad\Rightarrow \quad\frac{4r^2\cos^2\varphi}{4} +r^2\sin^2\varphi=1\quad\Rightarrow \quad r^2=1\quad\Rightarrow \quad r=1,$
$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\quad\Rightarrow \quad\frac{4r^2\co... ...c{r^2\sin^2\varphi}{4}=1\quad\Rightarrow \quad r^2=4\quad\Rightarrow \quad r=2.$

Prema tome, područje integracije dano je s

$\displaystyle S=\{(r,\varphi)\in\mathbb{R}^2:0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\quad 1\le r\le 2\}$ .

Konačno, imamo

$\displaystyle \iint\limits_{S}\sqrt{4-\frac{x^{2}}{4}-y^{2}} dx dy$	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{ \frac{\pi }{2}}d\varphi \int\limits_{1}^{2}\sqrt{4-\frac{4r^{2}\cos ^{2}\varphi }{4}-r^{2}\sin ^{2}\varphi } 2r dr$
	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \int\limits_{1}^{2}\sqr... ... $2$ \hline $t$ & $\sqrt{3}$ & $0$ \end{tabular} \end{array} \right\}$
	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}d\varphi \int\limits_{\sqrt{3} ... ...i \left( -2\frac{t^{3}}{3}\right) \underset{\sqrt{3}}{\overset{0}{\bigg\vert}}$
	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left( 0+\frac{2}{3}3\sqrt{3}\ri... ...\overset{\frac{\pi }{2}}{\bigg\vert}} =2\sqrt{3}\frac{\pi }{2}-0=\pi \sqrt{3}.$

Polarne koordinate u dvostrukom VIŠESTRUKI INTEGRALI Površina ravninskog lika