×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Cilindrične i sferne koordinate     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Momenti i težišta

Zamjena varijabla

U prethodnom poglavlju izveli smo dvije zamjene varijabla: iz Kartezijevih u cilindrične i iz Kartezijevih u sferne koordinate. No, problem zamjene varijabli u višestrukom integralu je općeniti problem koji ima općenito rješenje. Za trostruki integral ($n=3$ ) postupak je dan sljedećim teoremom kojeg navodimo bez dokaza.

Teorem 4.2   Neka je zadan integral

$$I=\iiint\limits_D f(x,y,z) dx dy dz, \qquad D\subseteq \mathbb{R}^3,$$

i neka je funkcija $f$ neprekidna i integrabilna na skupu $D$ . Neka je $D'\subseteq\mathbb{R}^3$ i neka su $\alpha,\beta,\gamma : D'\to\mathbb{R}$ diferencijabilne funkcije za koje je preslikavanje $p:D'\to D$ definirano s

$$p(u,v,w)=(\alpha(u,v,w), \beta(u,v,w),\gamma(u,v,w))$$

bijekcija. Ako je Jakobijan (Jacobijeva determinanta)

$$J(u,v,w)=\begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial \alpha}{\pa... ...\partial \gamma}{\partial w} \end{vmatrix}\neq 0, \quad \forall (u,v,w)\in D',$$

onda je

$$\iiint\limits_D f(x,y,z) dx dy dz= \iiint\limits_{D'} f(\alpha(u,v,w), \beta(u,v,w),\gamma(u,v,w)) \vert J\vert du dv dw.$$

U prethodnom teoremu varijable $x$ , $y$ i $z$ mogu biti varijable u bilo kojem koordinatnom sustavu (ne nužno Kartezijevom). Zamjena varijabli se na analogan način definira i za ostale dimenzije ($n=2$ , $n=4$ , $n=5$ , ...).

Primjer 4.10   Kod prelaza iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav možemo uzeti

$$u =r, \alpha(r,\theta,\varphi ) =r\sin\theta \cos \varphi ,$$

$$v =\theta, \beta(r,\theta,\varphi ) =r\sin\theta \sin \varphi ,$$

$$w =\varphi , \gamma(r,\theta,\varphi ) =r\cos \theta.$$

Nadalje, ako je $D=\mathbb{R}^3$ onda je $D'=[0,\infty]\times [0,\pi]\times [-\pi,\pi]$ . Iz definicije sfernih koordinata slijedi da je preslikavanje

$$p:D'\to D, \qquad p(r,\theta,\varphi )=(x,y,z),$$

bijekcija. Funkcije $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ su diferencijabilne, a Jakobijan glasi

$$J=\begin{vmatrix}\displaystyle \frac{\partial \alpha}{\partial r}... ...ta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix}= r^2\sin\theta.$$

Konačno, zbog $\theta\in[0,\pi]$ je $\sin\theta\geq 0$ pa je

$$\vert J\vert=\vert r^2\sin\theta\vert=r^2\sin\theta.$$

Zadatak 4.2   Izvedite Jakobijan za cilindrične koordinate.

Primjer 4.11   Za $n=2$ teorem 4.2 vrijedi tako što jednostavno zanemarimo treću varijablu pa Jakobijan postaje determinanta drugog reda. Na primjer, za prelaz iz Kartezijevih u polarne koordinate vrijedi

$$x =r\cos\varphi \equiv\alpha(r,\varphi ),$$

$$y =r\sin\varphi \equiv\beta(r,\varphi ).$$

Stoga je

$$J=\begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial \alpha}{\partial r... ...trix}\cos\varphi & -r\sin\varphi \sin\varphi &r\cos\varphi \end{vmatrix}=r$$

pa, zbog $r\geq 0$ , vrijedi $\vert J\vert=r$ .

Cilindrične i sferne koordinate     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Momenti i težišta