previous up next
Natrag: Dvostruki integral Gore: Dvostruki integral   Naprijed: Polarne koordinate  


Volumen i površina

Dvostruki integral koristimo za računanje volumena (obujma) i površine. Neka je podintegralna funkcija $ f:D\to \mathbb{R}$, $ D\subseteq \mathbb{R}^2$, neprekidna (tada je i omeđena) i nenegativna, i neka je područje $ D$ omeđeno s po dijelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom4.2. Tada je vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela $ \Omega$ koje je omeđeno bazom $ D$ u $ xy$-ravnini i plohom $ z=f(x,y)$,

$\displaystyle V(\Omega) = \iint\limits_D f(x,y)  dx  dy=\iint\limits_D z  dP.
$

Izraz $ dP=dx  dy$ označava element površine, odnosno površinu pravokutnika sa stranicama $ dx$ i $ dy$.

Ako je $ z=f(x,y)=1$, tada dvostruki integral daje površinu područja $ D$ (volumen tijela s bazom $ D$ visine 1 jednak je površini baze):

$\displaystyle P(D)=V(\Omega)=\iint\limits_D dP.
$

Primjer 4.4   Izračunajmo obujam tijela omeđenog ravninama

$\displaystyle z=0,\quad y=x,\quad y=3x,\quad y=2-x,\quad y=4-x,
$

i plohom $ z=x^2+y^2$. Zadana ploha je kružni paraboloid s vrhom u ishodištu (vidi poglavlje 3.4.1). Područje integracije $ D$ određeno je s četiri zadnje ravnine i prikazano je na slici 4.3.

Slika 4.3: Podruje integracije za raunanje volumena
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/vipar,width=8.8cm}
\end{center}\end{figure}

Rastavljajući područje integracije na dva dijela imamo

$\displaystyle V=\int\limits _{1/2}^1 \int\limits _{2-x}^{3x} (x^2+y^2)  dy  dx+
\int\limits _{1}^2 \int\limits _{x}^{4-x} (x^2+y^2)  dy  dx.
$

Alternativno, rastavljajući područje integracije na tri dijela i integrirajući prvo po varijabli $ x$ imamo

$\displaystyle V=\int\limits _{1}^{3/2} \int\limits _{2-y}^{y} (x^2+y^2)  dx  ...
...2)  dx  dy+
\int\limits _{2}^3 \int\limits _{y/3}^{4-y} (x^2+y^2)  dx  dy.
$

Riješite primjer do kraja na oba načina.

Nadalje, volumen tijela $ \Omega$ omeđenog plohama $ z=f(x,y)$ i $ z=g(x,y)$, pri čemu je

$\displaystyle f,g:D\to \mathbb{R}, \qquad g(x,y)\leq f(x,y) \quad \forall (x,y)\in D,
$

a $ D\subset \mathbb{R}^2$ je područje omeđeno po dijelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom, se računa po formuli

$\displaystyle V(\Omega)= \iint\limits_D (f(x,y)-g(x,y))  dx  dy.$ (4.1)

Ovo je prirodno poopćenje formule za računanje površine ravninskih likova pomoću jednostrukog integrala iz poglavlja 2.6.1.


previous up next
Natrag: Dvostruki integral Gore: Dvostruki integral   Naprijed: Polarne koordinate