×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Trostruki integral     Trostruki integral     Zamjena varijabla


Cilindrične i sferne koordinate

Cilindrični koordinatni sustav odnosno cilindrične koordinate zadane su transformacijama:

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\cos \varphi ,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin \varphi ,$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =z,$    

pri čemu je $ r\geq 0$ i $ \varphi \in[0,2\pi]$ ili $ \varphi \in[-\pi,\pi]$ . Dakle, element volumena jednak je umnošku površine baze i visine, s time što se površina baze računa u polarnim koordinatama (vidi sliku 4.9)

$\displaystyle dV=r  dr  d\varphi   dz
$

pa je

$\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)  dV = \iiint\limits_D f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)
 r  dr  d\varphi   dz.
$

Slika: Element volumena u cilindričnim koordinatama
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/cilk.eps,width=6.0cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 4.7   Volumen iz primjera 4.6 lako je izračunati prelaskom na cilindrične koordinate. Vrijedi

$\displaystyle V$ $\displaystyle =\int\limits _0^{2\pi} \int\limits _0^1 \int\limits _{r^2}^r   d...
...\vert _0^{2\pi} \cdot \int\limits _0^1 \big( z\big\vert _{r^2}^r\big)   r  dr$    
  $\displaystyle = 2\pi \int\limits _0^1 (r^2-r^3)  dr= \frac{1}{6} \pi.$    

Sferne koordinate ili prostorne polarne koordinate zadane su transformacijama

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\sin\theta \cos \varphi ,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin\theta \sin \varphi ,$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =r\cos \theta,$    

pri čemu je $ r\geq 0$ , a obično se odabire $ \theta\in[0,\pi]$ i $ \varphi \in[-\pi,\pi]$ . Uz oznaku $ \rho=r\sin\theta$ možemo pisati

$\displaystyle x$ $\displaystyle =\rho \cos \varphi ,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\rho \sin \varphi ,$    
$\displaystyle z$ $\displaystyle =r\cos \theta.$    

Sferne koordinate prikazane su na slici 4.10.

Slika 4.10: Sferne koordinate
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/sfk.eps,width=7.2cm}
\end{center}\end{figure}

Zadatak 4.1   Prethodne formule služe za prebacivanje iz sfernih u Kartezijeve koordinate, $ (r,\theta,\varphi )\to(x,y,z)$ . Izvedite formule za prebacivanje iz Kartezijevih u sferne koordinate, $ (x,y,z)\to (r,\theta,\varphi )$ .

Primjer 4.8   Primjer jedne verzije sfernog koordinatnog sustava koji je često u upotrebi su zemljopisne karte. Udaljenost $ r$ se prikazuje kao nadmorska visina, kut $ \varphi $ je zemljopisna dužina koja se mjeri istočno i zapadno od Greenwicha, što odgovara odabiru $ \varphi \in[-\pi,\pi]$ , a kut $ \theta$ je zemljopisna širina koja se mjeri sjeverno i južno od ekvatora, što odgovara odabiru $ \theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Odabir $ \theta\in[0,\pi]$ je matematički povoljniji (vidi kasnije), jer je tada $ \sin\theta\geq 0$ .

Za računanje trostrukog integrala u sfernom koordinatnom sustavu potrebno je izračunati element volumena $ dV$ . Iz slike 4.11 vidimo da je

$\displaystyle dV\approx a  b  dr,
$

pri čemu je

$\displaystyle a=r\sin\theta   d\varphi ,\qquad b=r  d\theta.
$

Dakle,

$\displaystyle dV\approx r^2\sin\theta  d\theta   dr  d\varphi .
$

Točan izraz za $ dV$ sadrži još i druge članove, no oni teže nuli brže nego glavni izraz pa ih izostavljamo4.5. Dakle, u sfernim koordinatama vrijedi

$\displaystyle \iiint\limits_D f(x,y,z)   dV = \iiint\limits_D f(r\sin\theta \c...
...eta \sin \varphi , r\cos \theta)   r^2\sin\theta  d\theta   dr  d\varphi .
$

Slika 4.11: Element volumena u sfernim koordinatama
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/sfk1.eps,width=8.0cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 4.9   Volumen kugle $ K$ radijusa $ R$ jednak je

$\displaystyle V$ $\displaystyle = \iiint\limits_K 1\cdot dV = \int\limits _{-\pi}^{\pi} \int\limits _0^{\pi} \int\limits _0^R r^2\sin\theta   dr d\theta   d\varphi$    
  $\displaystyle = \int\limits _{-\pi}^{\pi}   d\varphi \cdot \int\limits _0^{\pi...
...\pi} \cdot (-\cos\theta)\bigg\vert _0^{\pi} \cdot \frac{r^3}{3} \bigg\vert _0^R$    
  $\displaystyle =\frac{4}{3}  R^3  \pi.$    


Trostruki integral     Trostruki integral     Zamjena varijabla