Područje integracije u dvostrukom integralu

Nacrtajte područje integracije i promijenite redoslijed integriranja u integralu

$\displaystyle I=\int\limits_0^1dx\int\limits_{e^{-x}}^{e^x}f(x,y)dy$ .

Rješenje.

Područje integracije [M2, definicija 4.2] je dano s (vidi sliku 4.1)

$\displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x\le 1,\quad e^{-x}\le y\le e^x\}.$

**Slika:** Područje integracije $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:0\le x\le 1,\quad e^{-x}\le y\le e^x\}$ .
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl15_dvostruki_integral.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

Prema [M2, napomena 4.1] i svojstvu V2 u [M2, poglavlje 4.1] smijemo zamijeniti redoslijed integracije, odnosno integrirati prvo po varijabli . U tom slučaju područje integracije rastavljamo na uniju dvaju disjunktnih područja

$\displaystyle D_1$	$\displaystyle =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\frac{1}{e}\le x\le 1, -\ln y\le y\le 1\}$ ,
$\displaystyle D_2$	$\displaystyle =\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:1\le x\le e,\quad \ln y\le y\le 1\}$ ,

pa je

$\displaystyle \int\limits_0^1dx\int\limits_{e^{-x}}^{e^x}f(x,y)dy= \int\limits... ...\limits_{-\ln y}^{1}f(x,y)dx+ \int\limits_1^edy\int\limits_{\ln y}^{1}f(x,y)dx$ .