×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Metode supstitucije     NEODREĐENI INTEGRAL     Metoda parcijalne integracije


Uvođenje novog argumenta

Izračunajte integrale:

a)
$ \displaystyle\int \sin 3x dx$ ,

b)
$ \displaystyle\int \frac{(\ln x)^{4}}{x} dx$ ,

c)
$ \displaystyle\int x\sqrt{1+x^{2}} dx$ .

Rješenje. Da bismo zadane integrale sveli na tablične umjesto $ x$ uvodimo novi argument, pa umjesto $  dx$ imamo $ d(noviargument)$ .

a)
Novi argument je $ 3x$ , a kako je $ d\left( 3x\right) =3 dx$ integral je potrebno jo pomnožiti s $ \frac{1}{3}$ .

$\displaystyle \int \sin 3x dx\frac{1}{3}=\int \sin 3x dx\left( 3x\right) =-\frac{1}{3}
\cos \left( 3x\right) +C.
$

b)
Za novi argument uzimamo $ \ln x$ , pa vrijedi

$\displaystyle \int \frac{(\ln x)^{4}}{x} dx=\int (\ln x)^{4} d\left( \ln x\right) =\frac{
\left( \ln x\right) ^{5}}{5}+C.
$

c)
Vrijedi

$\displaystyle \int x\sqrt{1+x^{2}} dx$ $\displaystyle =\int \left( 1+x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}x dx= \frac{1}{2}\int \left( 1+x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}}2x dx$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\int \left( 1+x^{2}\right) ^{\frac{1}{2}} d\left( 1+...
...right) =\frac{1}{2}\frac{\left( 1+x^{2}\right) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{ 3}{2}}+C.$    

Ovi integrali mogu se rješiti i metodom supstitucije tipa $ (noviargument)=t$ .