×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Uvođenje novog argumenta     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule


Metoda parcijalne integracije

Izračunajte integrale:

a)
$ \displaystyle\int xe^{x} dx$ ,

b)
$ \displaystyle\int \sqrt{x}\ln ^{2}x dx$ ,

c)
$ \displaystyle\int x\ln {\frac{1+x}{1-x}} dx$ ,

d)
$ \displaystyle\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} dx$ ,

e)
$ \displaystyle\int e^{x}\sin x dx$ .

Rješenje. U računaju zadanih integrala koristimo formulu parcijalne integracije [*][M2, teorem 1.7]. Ideja je da integral koji se pojavi nakon parcijalne integracije bude jednostavniji od zadanog integrala.

a)
U parcijalnoj integraciji uzimamo da je $ u=x$ i $  dv=e^{x} dx$ , jer time $ x$ derivacijom postaje $ 1$ čime se integriranje pojednostavnjuje.

$\displaystyle \int xe^{x} dx$ $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=x &  dv=e^{x} dx   du= dx & v=\int e^{x} dx=e^{x} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =xe^{x}-\int e^{x} dx=xe^{x}-e^{x}+C=\left( x-1\right) e^{x}+C.$    

b)
Parcijalnu integraciju možemo provoditi i više puta uzastopce, npr. u slijedećem intgralu zadano je $ \ln ^{2}x$ , pa nakon dvije parcijelne integracije $ \ln $ "nestaje".

$\displaystyle \int \sqrt{x}\ln ^{2}x dx$ $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=\ln ^{2}x &  dv=\sqrt{x} dx   d...
...c{2\ln x}{x} dx & v=\displaystyle \frac{2\sqrt{x^{3}}}{3} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}\ln ^{2}x-\frac{4}{3}\int \sqrt{x}\ln x ...
...{x} dx   du=\frac{ dx}{x} & v=\frac{2\sqrt{x^{3}}}{3} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}\ln ^{2}x-\frac{4}{3}\left( \frac{2}{3}\sqrt{x^{3}} \ln x-\frac{2}{3}\int \sqrt{x} dx\right)$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}\ln ^{2}x-\frac{8}{9}\sqrt{x^{3}}\ln x+\frac{16}{27 }\sqrt{x^{3}}+C$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}\left( \ln ^{2}x-\frac{4}{3}\ln x+\frac{8}{9} \right) +C.$    

c)
Vrijedi

$\displaystyle \int x\ln {\frac{1+x}{1-x}} dx$ $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=\ln {\frac{1+x}{1-x}} &  dv=x dx   du=\frac{2}{1-x^{2}} dx & v=\frac{x^{2}}{2} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =\frac{x^{2}}{2}\ln {\frac{1+x}{1-x}}-\int \frac{x^{2}}{2} \frac{2}{ 1-x^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\frac{x^{2}}{2}\ln {\frac{1+x}{1-x}}-\int \frac{-x^{2}+1-1}{1-x^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\frac{x^{2}}{2}\ln {\frac{1+x}{1-x}}-\int  dx-\int \frac{1}{1-x^{2}} dx$    
  $\displaystyle =\frac{x^{2}}{2}\ln {\frac{1+x}{1-x}+x-}\frac{1}{2}\ln {\frac{1+x}{1-x}+C}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( x^{2}+1\right) \ln \frac{1+x}{1-x}+x+C.$    

d)
$ x^{3}$ u brojinku zapisujemo kao $ x^{2}\cdot x$ , pa slijedi

$\displaystyle \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} dx$ $\displaystyle =\int x^{2}\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}  dx$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=x^{2} &  dv=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}...
...rac{1}{2}\int \frac{2x}{\sqrt{1+x^{2}}} dx=\sqrt{1+x^{2}} \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\int \sqrt{1+x^{2}}2x dx$    
  $\displaystyle =x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\int \sqrt{1+x^{2}} d\left( 1+x^{2}\right)$    
  $\displaystyle =x^{2}\sqrt{1+x^{2}}-\frac{2}{3}\left( x^{2}+1\right) ^{\frac{3}{2}}+C.$    

e)
Vrijedi

$\displaystyle \int e^{x}\sin x dx$ $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=e^{x} &  dv=\sin x dx   du=e^{x} dx & v=-\cos x \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x dx$    
  $\displaystyle =\left\{ \begin{array}{cc} u=e^{x} &  dv=\cos x dx   du=e^{x} dx & v=\sin x \end{array} \right\}$    
  $\displaystyle =-e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x dx.$    

Integral koji preostaje izračunati jednak je početnom integralu, označimo ga s $ I$ , pa izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo

$\displaystyle I=e^{x}\cos x+e^{x}\sin x-I,
$

iz čega slijedi

$\displaystyle 2I$ $\displaystyle =e^{x}\left( \cos x-\sin x\right)$    
$\displaystyle I$ $\displaystyle =\int e^{x}\sin x dx=\frac{e^{x}}{2}\left( \cos x-\sin x\right) +C.$    


Uvođenje novog argumenta     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule