Metode supstitucije

Rješenje. Integrale računamo svodeći zadani integral na tablični dopustivom zamjenom varijable integracije nekom funkcijom (bijekcijom) ili dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza novom varijablom integracije.

Umjesto

uvodimo novu varijablu

. Potrebno je promijeniti i

koji je u ovom slučaju jednak

, jer je $dt=d\left( x-a\right) = dx$ .

$\begin{displaymath} \int \frac{ dx}{x-a}=\left\{ \begin{array}{c} x-a=t \\ ... ...aystyle \int \frac{ dt}{t}=\ln \left\vert x-a\right\vert +C. \end{displaymath}$

Umjesto $1+e^{x}$ uvodimo novu varijablu

, pa vrijedi

$\displaystyle \int \frac{ dx}{1+e^{x}}$	$\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} 1+e^{x}=t e^{x} dx= dt x=\ln \l... ... \frac{\displaystyle \frac{ dt}{t-1}}{t}=\int \frac{ dt}{\left( t-1\right) t}$
	$\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{1}{\left( t-1\right) t}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t-1} A=-1 B=1 \end{array} \right\}$
	$\displaystyle =\int \frac{1}{t-1} dt-\int \frac{1}{t} dt=\ln \left\vert t-1\right\vert -\ln \left\vert t\right\vert +C$
	$\displaystyle =\ln e^{x}-\ln \left( 1+e^{x}\right) +C=x-\ln \left( 1+e^{x}\right) +C.$

Osim suspstitucije u ovom zadatku korišten je i rastav na parcijalne razlomke gdje smo razlomak pod integralom $\frac{1}{\left( t-1\right) t}$ rastavili na dva jednostavnija.

Zbog pojave $\sqrt[3]{x}$ u podintegralnom izrazu uvodimo zamjenu $x=t^{3}$ , pa vrijedi

$\displaystyle \int \frac{\sin \sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} dx$	$\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} x=t^{3} dx=3t^{2} dt \end{array} \right\} =\int \frac{\sin t}{t^{2}} 3t^{2} dt$
	$\displaystyle =3\int \sin t dt=-3\cos t+C=-3\cos \sqrt[3]{x}+C.$

Vrijedi

$\displaystyle \int \frac{\cos x}{1+2\sin x} dx$	$\displaystyle =\left\{ \begin{array}{c} 1+2\sin x=t 2\cos dx= dt \end{array} \right\} =\int \frac{ dt}{2t}$
	$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left\vert t\right\vert +C=\frac{1}{2}\ln \left\vert 1+2\sin x\right\vert +C.$