×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Metode supstitucije

Neposredno integriranje

Izračunajte integrale:

a)

$$\int \bigg(1-\frac{1}{x^{2}}\bigg)\sqrt{x\sqrt{x}} dx$$ ,

b)

$$\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1} dx$$ ,

c)

$$\int \frac{2^{x}+5^{x}}{10^{x}} dx$$ ,

d)

$$\int \frac{1}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x} dx$$ ,

e)

$$\int {\mathop{\mathrm{tg}}} ^{2}x dx$$ .

Rješenje. U računanju primjenjujemo [M2, teorem 1.4]^1.1 i tablicu osnovnih integrala [M2, poglavlje 1.1.1].

a)

Da bismo mogli primjeniti integral potencije iz tablice osnovnih integrala podintegralu funkciju prvo zapisujemo u jednostavnijem obliku, pa vrijedi

$$\int \bigg(1-\frac{1}{x^{2}}\bigg)\sqrt{x\sqrt{x}} dx =\int \bigg(1-\frac{ 1}{x^{2}}\big(g)x^{\frac{3}{4}} dx=\int x^{\frac{3}{4}} dx-\int x^{-\frac{5 }{4}} dx$$

$$=\frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}}-\frac{x^{-\frac{1}{4}}}{-\frac{1}{4}} +C=\frac{4x\sqrt[4]{x^{3}}}{7}+\frac{4}{\sqrt[4]{x}}+C$$

$$=\frac{4\left( x^{2}+7\right) }{7\sqrt[4]{x}}+C.$$

b)

Tablični integral dobivamo nakon što brojniku dodamo i oduzmemo broj $1$ , pa vrijedi

$$\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1} dx =\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1} dx=\int 1 dx-\int \frac{1}{x^{2}+1} dx$$

$$=x-{\mathop{\mathrm{tg}}}x+C.$$

c)

Vrijedi

$$\int \frac{2^{x}+5^{x}}{10^{x}} dx =\int \left( \frac{1}{5}\right) ^{x} dx+\int \left( \frac{1}{2}\... ...^{x}}{\ln \frac{1}{5}}+\frac{\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}}{\ln \frac{1}{2}}+C$$

$$=-\frac{5^{-x}}{\ln 5}-\frac{2^{-x}}{\ln 2}+C.$$

d)

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet dobivamo

$$\int \frac{1}{\sin ^{2}x\cos ^{2}x} dx =\int \frac{\sin ^{2}x+\cos ^{2}x}{ \sin ^{2}x\cos ^{2}x} dx=\int \frac{1}{\cos ^{2}x} dx+\int \frac{1}{\sin ^{2}x} dx$$

$$={\mathop{\mathrm{tg}}}x-{\mathop{\mathrm{ctg}}}x+C.$$

e)

Zapisivanjem funkcije ${\mathop{\mathrm{tg}}}x$ u obliku ${\ \mathop{\mathrm{tg}}}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ dobivamo

$$\int {\mathop{\mathrm{tg}}}^{2}x dx =\int \left( \frac{1}{\cos ^{2}x} -1\right) dx=\int \frac{1}{\cos ^{2}x} dx-\int dx$$

$$={\mathop{\mathrm{tg}}}x-x+C.$$

NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Metode supstitucije