×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Ekstremi na zatvorenom području,     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Problem vezanog ekstrema


Ekstremi na zatvorenom području, 2. primjer

Odredite najveću i najmanju vrijednost funkcije $ %\begin{equation*} f(x,y)=x^2-y^2 $ ako je $ x^2+y^2\le 1$ .

Rješenje.

Dio plohe $ \displaystyle z=x^2-y^2$ nad zatvorenim područjem $ x^2+y^2\le 1$ prikazan je na slici 3.11.

Slika: Ploha $ \displaystyle z=x^2-y^2$ nad zatvorenim područjem $ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\le 1\}$ .
\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl11_ekstremi.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}

Rješavanjem sustava

$\displaystyle z_x$ $\displaystyle =2x=0$    
$\displaystyle z_y$ $\displaystyle =-2y=0$    

dolazimo do stacionarne točke $ O(0,0)$ funkcije $ f$ . Vrijedi $ f(0,0)=0$ . Provjerimo što se događa s funkcijskim vrijednostima na na rubu zadanog područja, tj. na kružnici $ x^2+y^2=1$ . Kao i u prethodnom primjeru, funkciju $ f$ nad kružnicom prikazat ćemo kao funkciju jedne varijable, te ispitivati postojanje ekstrema alatima za ispitivanje ekstrema funkcije jedne varijable. Izvršimo zamjenu

$\displaystyle x$ $\displaystyle =\cos t,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\sin t$   ,$\displaystyle \hspace{0.5cm}0\le t<2\pi.$    

Na ovaj način sve točke kružnice zadane su jednim parametrom $ t$ .

Izrazom $ f(x,y)=x^2-y^2=\cos ^2t-\sin ^2t=\cos 2t=f(t)$ , $ 0\le t<2\pi$ , zadane su funkcijske vrijednosti funkcije $ f$ na kružnici.

Iz $ \displaystyle \frac{df}{dt}=-2\sin 2t=0$ , $ 0\le t<2\pi$ , dobivamo sljedeće točke:

$\displaystyle 2t$ $\displaystyle =0 \Rightarrow t=0\Rightarrow S_1(1,0), f(1,0)=1$    
$\displaystyle 2t$ $\displaystyle =\pi \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\Rightarrow S_2(0,1), f(0,1)=-1$    
$\displaystyle 2t$ $\displaystyle =2\pi \Rightarrow t=\pi\Rightarrow S_3(-1,0), f(-1,0)=1$    
$\displaystyle 2t$ $\displaystyle =3\pi \Rightarrow t=\frac{3\pi}{2}\Rightarrow S_4(0,-1), f(0,-1)=-1$    

Vidimo da funkcija $ f$ ima najveću vrijednost $ 1$ u točkama $ S_1$ i $ S_3$ , a najmanju vrijednost $ -1$ u točkama $ S_2$ i $ S_4$ .

Ekstremi na zatvorenom području,     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Problem vezanog ekstrema