Parcijalna diferencijalna jednadžba

Riješite parcijalnu diferencijalnu jednadžbu $\displaystyle \frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}\left( x,y\right) =0$ .

Rješenje.

Do tražene funkcije $\displaystyle z=z(x,y)$ doći ćemo ako zadanu diferencijalnu jednadžbu integriramo uzastopce dva puta. Integrirajmo ju najprije po varijabli $\displaystyle x$ . Slijedi

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\left( x,y\right) =\int 0 dx+\varphi (y)= \varphi (y),$

(3.1)

gdje je $\displaystyle \varphi (y)$ funkcija u varijabli $\displaystyle y$ koju, prilikom integriranja po varijabli $\displaystyle x$ , prepoznajemo kao konstantu. Integrirajmo sada jednakost (3.1) po varijabli $\displaystyle y$ . Dobivamo traženo rješenje

$\displaystyle z(x,y)=\int \varphi (y) dy+\psi (x),$

gdje je $\displaystyle \psi (x)$ funkcija u varijabli $\displaystyle x$ koja se pojavljuje kao konstanta pri integriranju po varijabli $\displaystyle y$ .