Parcijalna derivacija trećeg reda

Za funkciju $\displaystyle u(x,y,z)=e^{xyz}$ odredite $\displaystyle \frac{\partial ^3 u}{\partial x\partial y\partial z}\left( x,y,z\right)$ .

Rješenje.

Prema Teoremu [M2, teorem 3.3] vrijednost tražene derivacije ne ovisi o redoslijedu deriviranja po pojedinim varijablama pa redoslijed deriviranja biramo proizvoljno. Ovdje ćemo funkciju $\displaystyle u$ derivirati najprije po varijabli $\displaystyle z$ . Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial z}\left( x,y,z\right) =xye^{xyz}.$

Dobivenu derivaciju zatim deriviramo po varijabli $\displaystyle y$ . Slijedi

$\displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial y\partial z}\left( x,y,z\right) =\frac{\partial }{\partial y}\left(xye^{xyz}\right)=(x^2yz+x)e^{xyz}.$

Derivirajmo još po varijabli $\displaystyle x$ . Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial ^3u}{\partial x\partial y\partial z}\left( x,y,z\r... ...\left[ \left(x^2yz+x\right)e^{xyz}\right]=\left(x^2y^2z^2+3xyz+1\right)e^{xyz}.$