×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Presjek ploha     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal

Parcijalne derivacije

Definicija 3.7   Parcijalna derivacija funkcije $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n$ , po varijabli $x_i$ u točki $T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)$ je derivacija funkcije jedne varijable $f_i: \mathcal{D}_i\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}_i\subseteq \mathbb{R}$ , definirane s

$$f_i(x)=f(x_1^0,\cdots,x_{i-1}^0,x,x_{i+1}^0,\cdots,x_n^0),\qquad x\in D_i,$$ (3.1)

u točki $x_i^0$ . Dakle,

$$\frac{\partial f(T_0)}{\partial x_i}= f_i'(x_i^0)=\lim_{x\to x_i^0} \frac {f_i(x)-f_i(x_i^0)}{x-x_i^0}.$$

Za parcijalne derivacije još koristimo i sljedeće oznake:

$$\frac{\partial f(T_0)}{\partial x_i}\equiv f_{x_i}'(T_0) \equiv f_{x_i}(T_0).$$

Ako za funkciju $f$ u točki $T_0$ postoje parcijalne derivacije $f_{x_i}'(T_0)$ po svim varijablama $x_i$ , onda kažemo da je funkcija $f$ derivabilna u točki $T_0$ . Ako je funkcija $f$ derivabilna u svakoj točki $T\in \mathcal{D}$ , onda kažemo da je $f$ derivabilna funkcija.

Definicija 3.8   Neka je $A\subseteq \mathcal{D}$ skup svih točaka $T\in \mathcal{D}$ u kojima postoji parcijalna derivacija $f'_{x_i}(T)$ po varijabli $x_i$ . Funkciju $f'_{x_i}:A\to\mathbb{R}$ zovemo parcijalna derivacija funkcije $f$ po varijabli $x_i$ . To je opet jedna funkcija od $n$ varijabli koja može imati svoje parcijalne derivacije. Parcijalnu derivaciju po varijabli $x_j$ funkcije $f'_{x_i}$ zovemo parcijalna derivacija drugog reda funkcije $f$ po varijablama $x_i,x_j$ i označavamo s

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\equiv f''_{x_ix_j}\equiv f_{x_ix_j}.$$

Analogno definiramo parcijalnu derivaciju trećeg reda funkcije $f$ po varijablama $x_i,x_j,x_k$ ,

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x_i\partial x_j\partial x_k} \equiv f'''_{x_ix_jx_k}\equiv f_{x_ix_jx_k}.$$

Indukcijom definiramo parcijalnu derivaciju $m$ -tog reda funkcije $f$ po varijablama $x_{i_1}, x_{i_2},\cdots,x_{i_m}$ ,

$$\frac{\partial^m f}{\partial x_{i_1} \partial x_{i_2}\cdots\parti... ...^{(m)}_{x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_m}} \equiv f_{x_{i_1}x_{i_2}\cdots x_{i_m}},$$

gdje je $i_1,i_2,\cdots,i_m\in \{1,2,\cdots,n\}$ i $m\in\mathbb{N}$ .

Primjer 3.7   Funkcija $f(x,y)=\sin(x+y^2)$ dobro je definirana na $\mathcal{D}=\mathbb{R}^2$ te ima parcijalne derivacije svakog reda. Postupak deriviranja je jednostavan: kad računamo $f'_x(x,y)$ varijablu $y$ u izrazu za $f(x,y)$ tretiramo kao konstantu, a kad računamo $f'_y(x,y)$ , onda varijablu $x$ u izrazu za $f(x,y)$ tretiramo kao konstantu. Dakle,

$$\begin{aligned} f'_x(x,y) &=\frac{\partial[\sin(x+y^2)]}{\part... ...{\partial[\sin(x+y^2)]}{\partial y}=2y\cos(x+y^2). \end{aligned}$$

Slično postupamo kod računanja parcijalnih derivacija višeg reda. Na primjer, parcijalne derivacije drugog reda su

$$\begin{aligned} f''_{xx}(x,y) &=\frac{\partial\left[f'_x(x,y)\... ...(x+y^2)]}{\partial y}=2\cos(x+y^2)-4y^2\sin(x+y^2). \end{aligned}$$

U gornjem primjeru vidimo da su funkcije $f''_{xy}$ i $f''_{yx}$ jednake. To nije slučajnost već pravilo. Naime vrijedi sljedeći važan teorem kojega navodimo bez dokaza:

Teorem 3.3   [Schwarz] Pretpostavimo da funkcija $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n$ , u nekoj okolini $K(T_0,\delta)$ točke $T_0\in D$ ima neprekidne sve parcijalne derivacije do uključivo $(r-1)$ -vog reda i da u toj okolini od $T_0$ postoje sve parcijalne derivacije $r$ -tog reda. Ako su parcijalne derivacije $r$ -tog reda od $f$ neprekidne u točki $T_0$ , onda njihove vrijednosti u toj točki ne zavise od redoslijeda deriviranja po pojedinim varijablama.

Primjer 3.8   Za funkciju dviju varijabla formalno možemo promatrati ukupno $2^3=8$ parcijalnih derivacija trećeg reda. To su redom

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial x\partial x },\qquad \frac... ...tial x\partial y },\qquad \frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial x },$$

$$\frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x\partial x },\quad \frac{... ...rtial y\partial x },\quad \frac{\partial^3 f}{\partial y\partial x\partial y },$$

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial y },\qquad \frac{\partial^3 f}{\partial y\partial y\partial y }.$$

Međutim, koristeći teorem 3.3 stvarno promatramo samo $4$ parcijalne derivacije trećeg reda (uz razumljivu pretpostavku o njihovoj neprekidnosti). Prvu od funkcija u gornjem nizu označavamo kraće s

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x^3},$$

druga, treća i četvrta su jednake i označavamo ih kraće s

$$\frac {\partial^3 f}{\partial x^2 \partial y},$$

peta, šesta i sedma u nizu su jednake i označavamo ih s

$$\frac{\partial^3 f}{\partial x \partial y^2},$$

a osmu označavamo kraće s

$$\displaystyle \frac{\partial^3 f}{\partial y^3}.$$

Općenitije, za bilo koji $r\in\mathbb{N}$ formalno postoji $2^r$ parcijalnih derivacija $r$ -tog reda, ali ih različitih ima stvarno samo $(r+1)$ i označavamo ih s

$$\displaystyle \frac{\partial^r f}{\partial x^i \partial y^{r-i}},\qquad i=0,1,\cdots,r.$$

Zadatak 3.6  

a)

Izračunaj sve parcijalne derivacije trećeg reda za funkciju triju varijabla $u=\ln(x^2+y+z)$ . Koliko ih ima stvarno različitih?

b)

Koliko ima stvarno različitih parcijalnih derivacija $r$ -tog reda funkcije od $m$ varijabla?

Za razliku od funkcije jedne varijable koja je neprekidna u svakoj točki u kojoj je derivabilna, derivabilnost funkcije više varijabla u nekoj točki ne povlači nužno neprekidnost funkcije u toj točki.

Primjer 3.9   Funkcija

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cr} \displaystyle\frac{xy}{x^2+y^2... ...textrm{za }(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&\textrm{za }(x,y)=(0,0). \end{array}\right.$$

je definirana na $D=\mathbb{R}^2$ i ima prekid u točki $(0,0)$ . Naime, nizovi točaka $\left\{\left(\displaystyle \frac{1}{n},\frac{c}{n}\right)\right\}$ konvergiraju prema točki $(0,0)$ za svaki $c$ , dok pripadajući nizovi funkcijskih vrijednost imaju različite limese:

$$f\left(\frac{1}{n},\frac{c}{n}\right)= \frac{c}{1+c^2}\to \frac{c}{1+c^2}.$$

S druge strane u točki $(x,y)\neq(0,0)$ imamo

$$f'_x(x,y) =\frac{y(x^2+y^2)-xy(2x)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},$$

$$f'_y(x,y) =\frac{x(x^2+y^2)-xy(2y)}{(x^2+y^2)^2}=\frac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},$$

a u točki $(0,0)$ je

$$f'_x(0,0) =\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0,$$

$$f'_y(0,0) =\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{0-0}{y}=0.$$

Dakle $f$ je derivabilna u točki $(0,0)$ , ali nije neprekidna u toj točki.

Presjek ploha     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal