×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Eulerova i trigonometrijska supstitucija     NEODREĐENI INTEGRAL     Binomni integral

Metoda neodređenih koeficijenata

Izračunajte integral $$\int \frac{x^{2}+2x+3}{\sqrt{-x^{2}+4x}} dx$$ .

Rješenje.

Iz formule za metodu neodređenih koeficijenata [M2, poglavlje 1.7.3], slijedi

$$I=\int \frac{x^{2}+2x+3}{\sqrt{-x^{2}+4x}} dx=\left( a_{1}x+a_{0}\right) \sqrt{-x^{2}+4x}+\lambda \int \frac{ dx}{\sqrt{-x^{2}+4x}}.$$

Deriviranjem po $x$ dobivamo

$$\frac{x^{2}+2x+3}{\sqrt{-x^{2}+4x}}=a_{1}\sqrt{-x^{2}+4x}+\left( ... ...0}\right) \frac{-2x+4}{2\sqrt{-x^{2}+4x}}+\frac{\lambda }{\sqrt{ -x^{2}+4x}}$$

Pomnožimo li cijeli izraz sa $\sqrt{-x^{2}+4x}$ dobivamo

$$x^{2}+2x+3=a_{1}-x^{2}+4x+\left( a_{1}x+a_{0}\right) \left( 2-x\right) +\lambda$$

Izjednačavanjem lijeve i desne strane dobivamo

$$1 =-a_{1}-a_{1}$$

$$2 =4a_{1}+2a_{1}-a_{0}$$

$$3 =2a_{0}+\lambda$$

iz čega slijedi

$$a_{1}=\frac{1}{2},a_{0}=-5,\lambda =13.$$

Integral $I$ sada je jednak

$$I =\left( -\frac{1}{2}x-5\right) \sqrt{-x^{2}+4x}+13\int \frac{ dx}{\sqrt{ -x^{2}+4x}}$$

$$=\left( -\frac{1}{2}x-5\right) \sqrt{-x^{2}+4x}+13\int \frac{ dx}{\sqrt{ 4-\left( x-2\right) ^{2}}}$$

$$=\left( -\frac{1}{2}x-5\right) \sqrt{-x^{2}+4x}+13\arcsin \frac{x-2}{2}+C.$$