×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Trigonometrijske i Eulerove supstitucije     Integriranje nekih iracionalnih funkcija     Binomni integral

Metoda neodređenih koeficijenata

Vrijedi formula

$$\int \frac{p_n(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}} dx=q_{n-1}(x)\sqrt{ax^2+bx+c} +\alpha \int \frac{ dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}},$$ (1.7)

gdje su $p_n(x)$ i $q_{n-1}(x)$ polinomi stupnja $n$ i $n-1$ , redom, a $\alpha$ je realna konstanta. Koeficijente polinoma $q_{n-1}$ i konstantu $\alpha$ odredimo na sljedeći način:

1)

deriviramo obje strane jednakosti (1.7),

2)

pomnožimo dobivenu jednakost s $\sqrt{ax^2+bx+c}$ (na taj način više nema izraza pod korijenom),

3)

izjednačimo koeficijente uz potencije od $x$ i riješimo dobiveni sustav linearnih jednadžbi.

Nakon ovog postupka preostaje izračunati integral na desnoj strani formule (1.7). Taj integral se svođenjem na puni kvadrat i odgovarajućom supstitucijom svodi na tablični integral.

Integrali ovog tipa također se mogu rješavati trigonometrijskim i Eulerovim supstitucijama. Međutim, ako je red polinoma $p_n$ velik, onda trigonometrijske i Eulerove supstitucije vode na složeni integral racionalne funkcije, pa je metoda neodređenih koeficijenata jednostavnija.

Primjer 1.12   Sljedeći integral prvo pomoću malog trika svedemo na oblik (1.7):

$$I =\int x^2\sqrt{4 x^2+9} dx= \int \frac{x^2 (4 x^2+9)}{\sqrt{4 x^2+9}} dx$$

$$=(A x^3+B x^2+C x+D)\sqrt{4 x^2+9} +E \int \frac{ dx}{\sqrt{4 x^2+9}}.$$

Deriviranje daje

$$x^2\sqrt{4 x^2+9} =(3 A x^2+2 B x+C)\sqrt{4 x^2+9}$$

$$\quad +(A x^3+B x^2+C x+D) \frac{4 x}{\sqrt{4 x^2+9}}+E \frac{1}{\sqrt{4 x^2+9}}.$$

Množenje ove jednakosti s $\sqrt{4 x^2+9}$ daje

$$x^2(4 x^2+9)=(3 A x^2+2 B x+C)(4 x^2+9)+(A x^3+B x^2+C x+D)4 x+E.$$

Izjednačavanje koeficijenata uz iste potencije od $x$ na lijevoj i desnoj strani daje sustav linearnih jednadžbi. Rješavanje tog sustava i preostalog integrala daje

$$I=\bigg(\frac{1}{4} x^3 +\frac{9}{32} x\bigg)\sqrt{4 x^2+9} ... ...ot \frac{1}{2} \mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits \bigg(\frac{2}{3} x \bigg)+C.$$

Izvedite za vježbu sve preskočene detalje.

Zadatak 1.8   Riješite integral

$$\int \frac{ dx}{(x-1)^4\sqrt{x^2+x+1}}.$$

Uputa. Integrali oblika

$$\int \frac{ dx}{(x-\alpha)^n\sqrt{x^2+x+1}}$$

supstitucijom $x-\alpha=1/t$ svode se na oblik (1.7).

Trigonometrijske i Eulerove supstitucije     Integriranje nekih iracionalnih funkcija     Binomni integral