×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Totalni diferencijal višeg reda     Totalni diferencijal višeg reda     Ekstremi funkcija više varijabla

Taylorova formula

Promatrimo funkciju $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n$ , i točke

$$T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0), \qquad T=(x_1,x_2,\cdots,x_n),$$

iz $\mathcal{D}$ . Činjenicu da je $f$ diferencijabilna u točki $T_0$ možemo reinterpretirati na sljedeći način: za svaku točku $T\in K(T_0,\delta)\subseteq \mathcal{D}$ vrijedi

$$f(T)=f(T_0)+\sum_{i=1}^n f'_{x_i}(T_0)(x_i-x_i^0)+R_1(T),$$

pri čemu ostatak $R_1(T)$ ima svojstvo da teži nuli kad $T$ teži $T_0$ i to brže nego $T$ teži $T_0$ , odnosno

$$\lim_{T\to T_0}\frac{R_1(T)}{\rho}=0, \qquad \rho=d(T,T_0)=\sqrt{\sum\nolimits _{i=1}^n(x_i-x_i^0)^2}.$$

Praktična korist od gornje interpretacije je sljedeći zaključak: ako je točka $T$ blizu točki $T_0$ , odnosno ako je $\rho$ malen, onda je veličina $R_1(T)$ zanemarivo malena pa se vrijednost funkcije $f$ u točki $T$ može računati korištenjem približne jednakosti

$$f(T)\approx f(T_0)+\sum_{i=1}^n f'_{x_i}(T_0)(x_i-x_i^0).$$

Desnu stranu u gornjoj približnoj jednakosti je jednostavno računati ako su poznate vrijednosti $f(T_0)$ i $f'_{x_i}(T_0)$ , $i=1,\cdots,n$ . Ako želimo imati približnu jednakost s većim stupnjem točnosti, onda u račun moramo ubaciti i vrijednosti parcijalnih derivacija viših redova funkcije $f$ u točki $T_0$ .

Koristeći Taylorovu formulu za realne funkcije jedne varijable te formulu za deriviranje kompozicije funkcija više varijabla lako se dobije Taylorova formula za funkcije više varijabla. Taj rezultat ovdje iskazujemo bez dokaza:

Teorem 3.6   Ako funkcija $f$ ima u nekoj okolini $K(T_0,\delta)\subseteq D$ neprekidne parcijalne derivacije do uključivo $(m+1)$ -vog reda, $m\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ , onda za svaku točku $T\in K(T_0,\delta)$ vrijedi Taylorova formula

$$f(T)=f(T_0)+\sum_{r=1}^m\frac{1}{r!}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^rf(T_0)+R_m(T).$$

Ovdje je

$$R_m(T)=\frac{(1-\theta)^{m+1-p}}{m!\cdot p}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^{m+1}f(T_\theta)$$

za neki unaprijed zadani $p\in \mathbb{N}$ , a $0<\theta<1$ zavisi od točke $T$ i određuje točku

$$T_\theta=(x_1^0+\theta(x_1-x_1^0),\cdots,x_n^0+\theta(x_n-x_n^0))$$

koja se nalazi između točaka $T_0$ i $T$ .

Napomena 3.6  

1)

Izraz kojim je dan ostatak $R_n(T)$ u iskazu teorema 3.6 je takozvani Schlömlichov oblik ostatka. Za $p=1$ dobivamo Cauchyjev oblik ostatka, a za $p=m+1$ dobivamo Lagrangeov oblik ostatka koji je najjednostavniji i najčešće korišten. Također nije teško pokazati da vrijedi

$$\lim_{T\to T_0}\frac{R_m(T)}{\rho^m}=0, \qquad \rho=d(T,T_0)=\sqrt{\sum\nolimits _{i=1}^n(x_i-x_i^0)^2},$$

što se u literaturi (naročito u numeričkoj analizi) simbolički zapisuje kao

$$R_m(T)=O(\rho^m)$$

(ovakav zapis zovemo Peannov oblik ostatka). Posebno za $m=0$ tvrdnja u teoremu 3.6 svodi se praktično na uvodnu interpretaciju diferencijabilnosti funkcije $f$ u točki $T_0$ .

2)

Ako su uvjeti teorema 3.6 ispunjeni za svako $m\in \mathbb{N}\cup \{0\}$ i ako je

$$\lim_{m\to\infty}R_m(T)=0,\qquad \forall T\in K(T_0,\delta),$$

onda graničnim prijelazom iz Taylorove formule dobivamo razvoj funkcije u Taylorov red oko točke $T_0$ koji glasi

$$f(T)=f(T_0)+\sum_{r=1}^\infty\frac{1}{r!}\left(\sum_{i=1}^n(x_i-x_i^0) \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^rf(T_0).$$

U slučaju kad je $T_0=(0,\cdots,0)$ Taylorova formula (red) zove se Maclaurinova formula (red).

Primjer 3.15   Izračunajmo razvoj funkcije $f(x,y)=e^{x+y}$ u Taylorov red u okolini točke $T_0=(1,-1)$ . Funkcija ima u svakoj točki ravnine $\mathbb{R}^2$ parcijalne derivacije proizvoljno visokog reda. Sve te derivacije su jednake polaznoj funkciji pa su ujedno i neprekidne. Dakle,

$$d^k f(1,-1) = \left(\frac{\partial}{\partial x} dx+ \frac{\partial}{\partial y} dy\right)^k f(1,-1)$$

$$= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{\partial^k f(1,-1)}{\partial x^{k-i} \partial y^i} dx^{k-i} dy^i$$

$$= \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} 1 dx^{k-i} dy^i = (dx+dy)^k$$

$$= [(x-1)+(y+1)]^k=(x+y)^k.$$

Ako pokažemo da $R_k(x,y)\to 0$ u svakoj točki $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ , onda razvoj u Taylorov red zadane funkcije glasi

$$e^{x+y}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x+y)^k}{k!}.$$ (3.2)

Zaista, za Lagrangeov oblik ostatka imamo

$$\vert R_{k}(x,y)\vert \leq \frac{1}{(k+1)!} \vert x+y\vert^{k+1},$$

pa je $\lim_{k\to\infty}\vert R_{k}(x,y)\vert=0$ (vidi Matematiku 1) i formula (3.2) vrijedi za svaki $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ .

U ovom slučaju smo red (3.2) mogli dobiti i direktno iz Maclaurinovog razvoja funkcije jedne varijable $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{x^n}{n!}$ koji konvergira za svaki $x\in\mathbb{R}$ pomoću formalne zamjene $x\to x+y$ .

Totalni diferencijal višeg reda     Totalni diferencijal višeg reda     Ekstremi funkcija više varijabla