Totalni diferencijal višeg reda

Definicija 3.10 Neka funkcija

ima u nekoj okolini $K(T\delta)\subseteq D$ sve parcijalne derivacije do uključivo

-vog reda. Ako su sve parcijalne derivacije

-vog reda funkcije

diferencijabilne u točki

, onda totalni diferencijal

-tog reda funkcije

u točki

definiramo kao

$\displaystyle d^rf(T)=\sum_{i_1=1}^n\sum_{i_2=1}^n\cdots\sum_{i_r=1}^n\frac{\pa... ...x_{i_1}\partial x_{i_2}\cdots\partial x_{i_r}}dx_{i_1}dx_{i_2}\cdots dx_{i_r}.$

Primjer 3.14 Neka je

funkcija dviju varijabla. Pod pretpostavkom da

u nekoj okolini točke

ima neprekidne sve parcijalne derivacije

-tog reda, uvažavajući Schwarzov teorem, za

imamo

$\displaystyle d^2f(x,y)$	$\displaystyle =f''_{xx}(x,y)dxdx+f''_{xy}(x,y)dxdy$
	$\displaystyle \quad +f''_{yx}(x,y)dydx+f''_{yy}(x,y)dydy$
	$\displaystyle =f''_{xx}(x,y)(dx)^2+2f''_{xy}(x,y)dxdy+f''_{yy}(x,y)(dy)^2,$

a za

imamo

$\displaystyle d^3f(x,y)$	$\displaystyle =f'''_{xxx}(x,y)dxdxdx+f'''_{xxy}(x,y)dxdxdy$
	$\displaystyle \quad +f'''_{xyx}(x,y)dxdydx+f'''_{xyy}(x,y)dxdydy$
	$\displaystyle \quad +f'''_{yxx}(x,y)dydxdx+f'''_{yxy}(x,y)dydxdy$
	$\displaystyle \quad +f'''_{yyx}(x,y)dydydx+f'''_{yyy}(x,y)dydydy$
	$\displaystyle =f'''_{xxx}(x,y)(dx)^3+3f'''_{xxy}(x,y)(dx)^2dy$
	$\displaystyle \quad +3f'''_{xyy}(x,y)dx(dy)^2+f'''_{yyy}(x,y)(dy)^3.$