Kriteriji konvergencije

Slično kao kod redova brojeva (vidi

M1, teorem 6.10 i teorem 6.11) i kod nepravog integrala možemo zaključiti je li konvergira bez računanja samog integrala.

Poredbeni kriterij glasi: ako je $0\leq f(x)\leq g(x)$ za svaki $x\in(a,b)$ , pri čemu su

granice nepravog integrala, onda konvergencija integrala $\displaystyle \int_a^b g(x) dx$ povlači konvergenciju integrala $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ , a divergencija integrala $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ povlači divergenciju integrala $\displaystyle \int_a^b g(x) dx$ .

Teorem o apsolutnoj konvergenciji glasi: konvergencija integrala $\displaystyle \int_a^b \vert f(x)\vert dx$ povlači konvergenciju integrala $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ .

Primjer 2.5 Integral

$\displaystyle \int\limits _{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx=\sqrt{\pi},$

koji ima važnu primjenu u teoriji vjerojatnosti, nije elementarno rješiv. Međutim, koristeći poredbeni kriterij lako vidimo da taj integral konvergira. Kako je podintegralna funkcija parna, očito vrijedi (slika 2.10)

$\displaystyle \int\limits _{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx= 2 \int\limits _{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx.$

Iz slike 2.10, činjenica da za $0\leq x\leq 1$ vrijedi $0\leq e^{-x^2}\leq 1$ , dok za

vrijedi $0< e^{-x^2} < e^{-x}$ , i poredbenog kriterija, slijedi

$\displaystyle \int\limits _{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx= \int\limits _{0}^{1} e^... ...1}^{+\infty} e^{-x^2} dx \leq 1 + \int\limits _{1}^{+\infty} e^{-x} dx< 2,$

pa promatrani integral konvergira.

Kao ilustraciju apsolutne konvergencije promotrimo integral (vidi sliku 2.11)

$\displaystyle \int\limits _0^{+\infty} \sin x e^{-x} dx.$

Kako za $x\geq 0$ vrijedi $\vert\sin x e^{-x}\vert\leq e^{-x}$ , po poredbenom kriteriju zaključujemo da $\displaystyle \int_0^{+\infty} \vert\sin x e^{-x}\vert dx$ konvergira. No, onda i zadani integral konvergira po teoremu o apsolutnoj konvergenciji.