Kod razmatranja konvergencije geometrijskog reda u primjeru
6.8, istovremeno smo odgovorili na pitanje da li red konvergira
i našli njegovu sumu. Međutim, zapravo se radi o dva odvojena pitanja:
1)
Da li zadani red konvergira?
2)
Ukoliko red konvergira, koja mu je suma?
Često je lakše odgovoriti na prvo, nego na drugo pitanje.
Tako kod redova čiji su svi članovi pozitivni, na prvo pitanje
često možemo odgovoriti koristeći jedan od četiri kriterija
konvergencije koje navodimo u ovom poglavlju.
Definicija 6.10Neka su
i
redovi s pozitivnim članovima,
odnosno
za
. Ako postoji
takav da
povlači
, red
je
majoranta reda
, a red
je
minoranta reda
.
Teorem 6.10 [Kriteriji konvergencije]Neka su
i
redovi s pozitivnim članovima.
Tada vrijede sljedeći kriteriji konvergencije:
i)
Poredbeni kriterij I.
Red je konvergentan ako ima konvergentnu
majorantu,
a divergentan ako ima divergentnu minorantu.
ii)
Poredbeni kriterij II.
Neka je
Tada vrijedi:
a)
ako je
, tada oba reda ili konvergiraju ili
divergiraju;
b)
ako je
i red
divergira, tada red
divergira;
c)
ako je
i red
konvergira, tada red
konvergira;
d)
ako je
i red
konvergira, tada red
konvergira;
e)
ako je
i red
divergira, tada red
divergira.
iii)
D'Alembertov kriterij.
Neka je
Ako je
, tada red
konvergira, a ako je
, tada
red
divergira.
iv)
Cauchyjev kriterij.
Neka je
Ako je
, tada red
konvergira, a ako je
, tada
red
divergira.
v)
Raabeov kriterij.
Neka je
Ako je
, tada red
konvergira, a ako je
, tada
red
divergira.
Dokaz.
Dokazat ćemo samo prvu varijantu poredbenog kriterija, dok
dokaze ostalih tvrdnji izostavljamo.
Neka red
ima konvergentnu majorantu
i neka je
. Niz parcijalnih suma
reda
je
omeđen odozgo,
. Kako je
, niz
je i
strogo rastući pa konvergira po teoremu 6.4.
Druga tvrdnja je očita.
Q.E.D.
Raabeov kriterij se obično koristi tek kada zakaže D'Alembertov
kriterij, dakle kada je
.
Dat ćemo nekoliko primjera.
Primjer 6.11 Kako je
, red
divergira jer ima divergentnu minorantu
(vidi
primjer 6.10). Općenito, red
divergira za
zbog istog razloga (vidi napomenu 6.3).
Primjer 6.12 Promotrimo red
Zbog
vrijedi
Stoga je
. Red
također konvergira jer ima konvergentnu majorantu
. No, tada konvergira i red
Zadnju jednakost dokazat ćemo u Matematici 3.
Konačno, prema poredbenom kriteriju red
konvergira za
(vidi napomenu
6.3).
Primjer 6.13 Ispitajmo konvergenciju reda
po D'Alembertovom i Cauchyjevom kriteriju.
Red konvergira po D'Alembertovom kriteriju jer je
Red konvergira po Cauchyjevom kriteriju jer je
Primjer 6.14 Sljedeći važan red daje nam prikaz broja
:
(6.1)
Red konvergira po D'Alembertovom kriteriju jer je
Zadnja jednakost u formuli (6.1) dokazat će se u zadatku
6.5.