×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Nužan uvjet konvergencije     Red realnih brojeva     Apsolutna konvergencija

Kriteriji konvergencije

Kod razmatranja konvergencije geometrijskog reda u primjeru 6.8, istovremeno smo odgovorili na pitanje da li red konvergira i našli njegovu sumu. Međutim, zapravo se radi o dva odvojena pitanja:

1)

Da li zadani red konvergira?

2)

Ukoliko red konvergira, koja mu je suma?

Često je lakše odgovoriti na prvo, nego na drugo pitanje. Tako kod redova čiji su svi članovi pozitivni, na prvo pitanje često možemo odgovoriti koristeći jedan od četiri kriterija konvergencije koje navodimo u ovom poglavlju.

Definicija 6.10   Neka su $\sum a_n$ i $\sum b_n$ redovi s pozitivnim članovima, odnosno $a_n,b_n>0$ za $\forall n\in \mathbb{N}$ . Ako postoji $n_0\in \mathbb{N}$ takav da $n\geq n_0$ povlači $a_n\leq b_n$ , red $\sum b_n$ je majoranta reda $\sum a_n$ , a red $\sum a_n$ je minoranta reda $\sum b_n$ .

Teorem 6.10   [Kriteriji konvergencije]Neka su $\sum a_n$ i $\sum b_n$ redovi s pozitivnim članovima. Tada vrijede sljedeći kriteriji konvergencije:

i)

Poredbeni kriterij I. Red je konvergentan ako ima konvergentnu majorantu, a divergentan ako ima divergentnu minorantu.

ii)

Poredbeni kriterij II. Neka je

$$\lim\frac{a_n}{b_n}=r.$$

Tada vrijedi:

a)

ako je $0<r< +\infty$ , tada oba reda ili konvergiraju ili divergiraju;

b)

ako je $r=0$ i red $\sum a_n$ divergira, tada red $\sum b_n$ divergira;

c)

ako je $r=0$ i red $\sum b_n$ konvergira, tada red $\sum a_n$ konvergira;

d)

ako je $r=+\infty$ i red $\sum a_n$ konvergira, tada red $\sum b_n$ konvergira;

e)

ako je $r=+\infty$ i red $\sum b_n$ divergira, tada red $\sum a_n$ divergira.

iii)

D'Alembertov kriterij. Neka je

$$% \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=q.$$

Ako je $q<1$ , tada red $\sum a_n$ konvergira, a ako je $q>1$ , tada red $\sum a_n$ divergira.

iv)

Cauchyjev kriterij. Neka je

$$% \lim \sqrt[n]{a_n}=q.$$

Ako je $q<1$ , tada red $\sum a_n$ konvergira, a ako je $q>1$ , tada red $\sum a_n$ divergira.

v)

Raabeov kriterij. Neka je

$$% \lim n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=q.$$

Ako je $q>1$ , tada red $\sum a_n$ konvergira, a ako je $q<1$ , tada red $\sum a_n$ divergira.

Dokaz.

Dokazat ćemo samo prvu varijantu poredbenog kriterija, dok dokaze ostalih tvrdnji izostavljamo.

Neka red $\sum a_n$ ima konvergentnu majorantu $\sum b_n=b$ i neka je $a_n\leq b_n$ . Niz parcijalnih suma $\{s_k\}$ reda $\sum a_n$ je omeđen odozgo, $s_k\leq b$ . Kako je $a_n > 0$ , niz $\{s_k\}$ je i strogo rastući pa konvergira po teoremu 6.4. Druga tvrdnja je očita.     

Q.E.D.

Raabeov kriterij se obično koristi tek kada zakaže D'Alembertov kriterij, dakle kada je $\lim a_{n+1}/a_n =1$ .

Dat ćemo nekoliko primjera.

Primjer 6.11   Kako je $\frac{1}{n}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ , red

$$% \sum \frac{1}{\sqrt{n}}$$

divergira jer ima divergentnu minorantu $\sum \frac{1}{n}$ (vidi primjer 6.10). Općenito, red

$$\sum\frac{1}{n^p}$$

divergira za $p<1$ zbog istog razloga (vidi napomenu 6.3).

Primjer 6.12   Promotrimo red

$$% \sum \frac{1}{n(n+1)}.$$

Zbog

$$% \frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$

vrijedi

$$s_k =\sum_{n=1}^k \frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+ \frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots +\frac{1}{k-1}+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

$$=1-\frac{1}{k+1}.$$

Stoga je $\sum \frac{1}{n(n+1)}=\lim s_k=1$ . Red

$$% \sum \frac{1}{(n+1)^2}$$

također konvergira jer ima konvergentnu majorantu $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ . No, tada konvergira i red

$$% \sum \frac{1}{n^2}= 1+ \sum \frac{1}{(n+1)^2} =\frac{\pi^2}{6}.$$

Zadnju jednakost dokazat ćemo u Matematici 3. Konačno, prema poredbenom kriteriju red $\sum \frac{1}{n^p}$ konvergira za $p\geq 2$ (vidi napomenu 6.3).

Primjer 6.13   Ispitajmo konvergenciju reda

$$% \sum\frac{n}{3^n}$$

po D'Alembertovom i Cauchyjevom kriteriju. Red konvergira po D'Alembertovom kriteriju jer je

$$% \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{\frac{n+1}{3^{n+1}}}{\frac{n}{3^n}} =\lim\frac{ n+1}{3n}=\frac{1}{3}<1.$$

Red konvergira po Cauchyjevom kriteriju jer je

$$% \lim \sqrt[n]{a_n}=\lim\sqrt[n]{\... ... \frac{\sqrt[n]{n}}{3} \stackrel{\textrm{Zad.\ \ref{n1.23}}}{=} \frac{1}{3}<1.$$

Primjer 6.14   Sljedeći važan red daje nam prikaz broja $e$ :

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}= 1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots = e.$$ (6.1)

Red konvergira po D'Alembertovom kriteriju jer je

$$% \lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} =\lim\frac{1}{n+1}=0<1.$$

Zadnja jednakost u formuli (6.1) dokazat će se u zadatku 6.5.

Nužan uvjet konvergencije     Red realnih brojeva     Apsolutna konvergencija