QR rastav

U ovom poglavlju dat ćemo definiciju QR rastava (QR dekompozicije) te njegova osnovna svojstva i opisati primjenu na rješavanje problema najmanjih kvadrata. Slično kao u prethodnom poglavlju, ograničit ćemo se na slučaj kada je zadana matrica tipa $m\times n$ , gdje je $m\geq n$ . QR rastav je također podloga za metode koje računaju svojstvene vrijednosti i vektore.

Definicija 6.1 Neka je

tipa $m\times n$ , $m\geq n$ . QR rastav matrice

glasi

$\displaystyle A=QR,$

pri čemu je

ortonormirana matrica dimenzije $m\times m$ , odnosno

$\displaystyle Q^TQ=Q Q^T=I,$

je $m\times n$ gornje trokutasta matrica. Ortonormiranu matricu kraće zovemo i ortogonalna matrica.

Ako je, na primjer, matrica tipa $5\times 3$ , onda rastav možemo shematski prikazati na sljedeći način:

$\displaystyle \begin{bmatrix}\times & \times & \times \times & \times & \tim... ... 0 & \times & \times 0 & 0 & \times 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(6.2)

Korištenje QR rastava za rješavanje problema najmanjih kvadrata temelji se na sljedećem važnom svojstvu ortogonalne matrice: za svaki vektor $\mathbf{x}$ dimenzije $m\times 1$ vrijedi

$\displaystyle \Vert \mathbf{x} \Vert=\Vert Q\mathbf{x}\Vert.$

(6.3)

Zaista,

$\displaystyle \Vert Q\mathbf{x}\Vert^2= (Q\mathbf{x})^T Q\mathbf{x} = \mathbf{x}^TQ^T Q \mathbf{x}= \mathbf{x}^T \mathbf{x} = \Vert \mathbf{x}\Vert^2.$

Slično je i $\Vert Q^T\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ .

Osnovna svojstava QR rastava su sljedeća:

QR1.

QR rastav je jedinstven do na predznake stupaca matrice

i predznake redaka matrice

Neka je dijagonalna matrica reda s dijagonalnim elementima $J_{ii}\in\{-1,1\}$ . Matrica je očito simetrična i ortogonalna. Ako je $\bar Q=QJ$ i $\bar R=JR$ , onda je