QR rastav vektora i Householderov reflektor

☰ matematika2

QR rastav vektora i Householderov reflektor

U ovom i sljedećem poglavlju opisat ćemo detalje QR algoritma. Neka je zadan -dimenzionalni vektor

$\displaystyle \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1 x_2 \vdots x_m \end{bmatrix}$

i neka je

$\displaystyle \mathbf{x}=Q\mathbf{r}$

njegov QR rastav. Tada je zbog svojstva (6.3) $\Vert\mathbf{r}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ pa vrijedi

$\displaystyle \mathbf{r}=\begin{bmatrix}\Vert\mathbf{x}\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}$ ili $\displaystyle \quad \mathbf{r}=\begin{bmatrix}-\Vert\mathbf{x}\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}.$

Nalaženje matrice

je složenije. U ovom slučaju matrica

jednaka je Householderovom reflektoru. Householderov reflektor je simetrična matrica definirana s

$\displaystyle H=I - \frac{2}{\mathbf{v}^T \mathbf{v}}\mathbf{v} \mathbf{v}^T, \... ...atrix}x_1\pm \Vert\mathbf{x}\Vert x_2 x_3 \vdots x_m \end{bmatrix}.$

(6.4)

Uvrštavanjem se može provjeriti da za ovaj izbor matrice

vrijedi

$\displaystyle H\mathbf{x}=\mathbf{r}=\begin{bmatrix}\mp \Vert\mathbf{x}\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}.$

Ortogonalnosti i simetričnosti matrice

povlači

$\displaystyle \mathbf{x}= H^T (H \mathbf{x})=H^T \mathbf{r} =H\mathbf{r}$

pa smo dobili QR rastav vektora $\mathbf{x}$ .

Primjer 6.4 Ako je $\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3 & 1 & 5 & 1 \end{bmatrix}^T$ , onda je $\Vert\mathbf{x}\Vert=6$ ,

$\displaystyle \mathbf{v}=\begin{bmatrix}9 1 5 1 \end{bmatrix}, \quad ... ... \end{bmatrix}, \quad H\mathbf{x}=\begin{bmatrix}-6 0 0 0 \end{bmatrix}.$

Napomena 6.3 U prethodnom primjeru uzeli smo da je $v_1=x_1+\Vert\mathbf{x}\Vert$ . U praksi se često zbog numeričke stabilnosti (izbjegavanje oduzimanja) uzima

$\displaystyle v_1=x_1+\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x_1) \Vert\mathbf{x}\Vert.$

QR rastav QR rastav QR rastav matrice