×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Cramerovo pravilo     LINEARNA ALGEBRA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA

Rješavanje električne mreže

U ovom poglavlju pokazat ćemo kako se pomoću matričnog računa mogu rješavati električne mreže. Zanimljivo ja da se u tom postupku koriste mnoga svojstva matrica i sustava jednadžbi koja smo opisali u prethodnim poglavljima. Stoga praćenje primjera nije jednostavno i zahtijeva odlično poznavanje prethodnih poglavlja.

Promotrimo mrežu prikazanu na slici 2.2^2.1.

Slika 2.2: Električna mreža

Grane mreže su označene s brojevima od $1$ do $7$ , a čvorovi mreže s brojevima od $1$ do $4$ . Grana $k$ se sastoji od serijskog spoja otpora $R_k$ i naponskog izvora $U_k$ , a kroz granu teče struja $I_k$ (vidi Sliku 2.3). Čvor $i$ ima napon (potencijal) $V_i$ . Naš zadatak je izračunati struje $I_k$ ako znamo otpore $R_k$ i naponske izvore $U_k$ .

Slika 2.3: Standardna grana mreže

Za rješavanje mreže koristimo dva zakona:

• prvi Kirchoffov zakon po kojemu je zbroj struja koje ulaze u pojedini čvor jednak nula i
• Ohmov zakon po kojemu je
  $$\textrm{struja kroz otpor}=\frac{\textrm{napon na otporu}} {\textrm{otpor}}.$$

Ako struje koje ulaze u čvor označimo s predznakom $-$ , a struje koje izlaze iz čvora s predznakom $+$ , tada prvi Kirchoffov zakon primijenjen na čvorove $1$ -$4$ daje

$$\begin{array}{rrrrrrrrr} I_1&+I_2&+I_3 & & & & -I_7 & = & 0\... ...&+I_5 & & & = & 0\\ & & -I_3& & -I_5&-I_6& & = & 0 \end{array}$$

Vidimo da se radi o homogenom sustavu linearnih jednadžbi koji ima četiri jednadžbe i sedam nepoznanica, $I_1$ , ..., $I_7$ . Ako je

$$A= \begin{bmatrix}1&1&1& & & & -1\\ -1& & & -1& & 1 & \\ & -1& ... ...d I=\begin{bmatrix}I_1\\ I_2 \\ I_3 \\ I_4 \\ I_5 \\ I_6 \\ I_7 \end{bmatrix},$$

tada matrični zapis sustava glasi

$$AI=0.$$ (2.10)

Matrica $A$ zove se matrica incidencija ili matrica susjedstva zadane električne mreže. Ako zadnji stupac matrice $A$ premjestimo na prvo mjesto, dobit ćemo gornje trokutastu matricu pa lako vidimo da je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A) = 4$ .

Ako $k$ -ti vodič ide od čvora $i$ prema čvoru $j$ , tada Ohmov zakon daje

$$R_k I_k = V_i-V_j+U_k.$$

Dakle, imamo još jedan sustav linearnih jednadžbi koji glasi

$$R_1 I_1 = V_1-V_2+U_1$$

$$R_2 I_2 = V_1-V_3+U_2$$

$$R_3 I_3 = V_1-V_4+U_3$$

$$R_4 I_4 = -V_2+V_3+U_4$$

$$R_5 I_5 = V_3-V_4+U_5$$

$$R_6 I_6 = V_2-V_4+U_6$$

$$R_7 I_7 = -V_1+0+U_7$$

Neka je $R$ dijagonalna matrica otpora vodiča (matrica čiji su dijagonalni elementi otpori), $V$ vektor napona čvorova i $U$ vektor naponskih izvora na vodičima,

$$R=\begin{bmatrix}R_1 & & & & & & \\ & R_2 & & & & & \\ & & R_3 &... ... U=\begin{bmatrix}U_1\\ U_2 \\ U_3 \\ U_4 \\ U_5 \\ U_6 \\ U_7 \end{bmatrix}.$$

Uz ove oznake gornji sustav možemo zapisati u matričnom obliku kao

$$R I = A^T V + U.$$ (2.11)

Primijetimo da se i u matričnom zapisu Ohmovog zakona ponovo javlja matrica incidencija $A$ , ovaj put transponirana.

Matrica $R$ je dijagonalna, a njeni dijagonalni elementi (otpori) su veći od nule pa je prema tome $R$ regularna i vrijedi

$$R^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{R_1} & & & & & & \\ & \frac{1}{R_... ...5} & & \\ & & & & & \frac{1}{R_6} & \\ & & & & & & \frac{1}{R_7} \end{bmatrix}$$

Kada jednadžbu (2.11) pomnožimo s matricom $R^{-1}$ s lijeve strane, dobit ćemo novi ekvivalentan sustav

$$I=R^{-1} A^T V + R^{-1} U.$$ (2.12)

Pomnožimo sada ovu jednadžbu s matricom incidencija $A$ s lijeve strane. To nam daje sustav

$$AI=A R^{-1} A^T V + A R^{-1} U =0.$$ (2.13)

Zadnja jednakost u ovoj jednadžbi slijedi iz prvog Kirchoffovog zakona (2.10).

Radi lakšeg snalaženja uvedimo nove oznake,

$$K=A R^{-1} A^T, \qquad L=-A R^{-1} U.$$ (2.14)

Matrica $K$ i vektor $L$ su poznati jer su matrice $A$ i $R$ i vektor $U$ zadani. Matrica $K$ je dimenzije $4 \times 4$ , a vektor $L$ je dimenzije $4\times 1$ . Matrica $K$ je simetrična jer je

$$K^T= (A R^{-1} A^T)^T= (A^T)^T (R^{-1})^T A^T= A R^{-1} A^T = K.$$

Uz ove oznake jednadžba (2.13) daje sustav od četiri jednadžbe i četiri nepoznanice

$$K V = L.$$ (2.15)

Primijetimo da u električnoj mreži čvorova uvijek ima manje nego vodiča. Stoga je ovaj sustav manjih dimenzija od sustava (2.10) pa je njega povoljnije rješavati.

Prema Kronecker-Cappelijevom teoremu sustav (2.15) će imati jedinstveno rješenje $V$ ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (K) = 4$ . Da je taj uvjet zaista ispunjen možemo zaključiti pomoću sljedećeg važnog teorema koji navodimo bez dokaza.

Teorem 2.11   Ako je matrica $A$ tipa $m\times k$ i matrica $B$ tipa $k\times n$ , tada je

$$\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)+ \mathop{\mathrm{rang}}\nolim... ...in\{\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A),\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (B)\}.$$

Pored toga, za svaku matricu $A$ vrijedi

$$\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A A^T)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A^T A)= \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A).$$

Da bi primijenili teorem 2.11, uočimo da matricu $K$ možemo zapisati kao

$$K=A R^{-1} A^T =A S^{-1} (S^{-1})^T A^T = F F^T,$$

gdje je $F=A S^{-1}$ , a $S=(s_{ij})$ je dijagonalna matrica čiji su dijagonalni elementi $s_{kk}=\sqrt{R_k}$ . Kako je $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A) = 4$ i $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (S)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (R)=7$ , prva tvrdnja teorema 2.11 daje

$$4+7-7\leq\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A S^{-1})=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (F)\leq \min\{4,7\},$$

odnosno $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (F)=4$ . Druga tvrdnja teorema 2.11 sada povlači $\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (K)=\mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (F)=4$ pa sustav (2.15) ima jedinstveno rješenje $V$ .

Konačno, nakon što smo izračunali napone u čvorovima $V$ , struje kroz vodiče $I$ lako izračunamo uvrštavanjem u jednadžbu (2.12).

Za kraj, izračunajmo napone u čvorovima $V$ i struje u vodičima $I$ za električnu mrežu sa slike 2.2 za slučaj kada su otpori svih vodiča jednaki $10$ oma, $R_k=10\, \Omega$ , a u vodičima $1$ , $4$ i $5$ se nalaze naponski izvori od jednog volta, $U_1=U_4=U_5=1\, \textrm{V}$ . Uvrštavanje u relaciju (2.14) daje

$$K=\left[\begin{array}{rrrr} 0.4& -0.1& -0.1& -0.1\\ -0.1& 0.3... ...d L=\left[\begin{array}{r} -0.1\\ 0.2\\ -0.2\\ 0.1 \end{array}\right].$$

Rješenje sustava (2.15) daje napone u čvorovima

$$V=\left[\begin{array}{r} 0 \textrm{ V}\\ 0.75 \textrm{ V}\\ -0.25 \textrm{ V}\\ 0.5 \textrm{ V} \end{array}\right],$$

a uvrštavanje u jednadžbu (2.12) daje struje u vodičima

$$I=\left[\begin{array}{r} 0.025 \textrm{ A}\\ 0.025 \textrm{ A}... ...25 \textrm{ A}\\ 0.025 \textrm{ A}\\ 0 \textrm{ A}\\ \end{array}\right].$$

Zadatak 2.13   Gornje rješenje dobiveno je pomoću sljedećeg programa napisanog u programskom jeziku Matlab:

A=[1 1 1 0 0 0 -1; -1 0 0 -1 0 1 0; 0 -1 0 1 1 0 0; 0 0 -1 0 -1 -1 0]
R=diag([10 10 10 10 10 10 10])
U=[1 0 0 1 1 0 0]'
R1=inv(R)
K=A*R1*A'
L=-A*R1*U
V=K\L
I=R1*(A'*V+U)

U prvom retku programa matrica $A$ je zadana po retcima, pri čemu su retci odvojeni znakom ;. U drugom retku programa naredba diag koristi se za kreiranje dijagonalne matrice čiji su dijagonalni elementi jednaki elementima zadanog vektora. U trećem, petom i zadnjem retku znak ' označava transponiranu matricu. U četvrtom retku koristi se naredba inv koja daje inverznu matricu. U sedmom retku znak $\backslash$ znači rješavanje sustava.

Izvedite gornji program u Matlabu. Zatim riješite električnu mrežu sa slike 2.2 za neke druge vrijednosti otpora $R_k$ i naponskih izvora $U_k$ . Zadajte neku drugu električnu mrežu i riješite je na isti način. Pri rješavanju zadatka možete koristiti program Octave On-line.

Cramerovo pravilo     LINEARNA ALGEBRA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA