×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Volumen tijela, 1. primjer     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Površina dijela plohe u


Volumen tijela, 2. primjer

Izračunajte volumen tijela omeđenog površinama $ z=x^2+y^2$ , $ z=2(x^2+y^2)$ i ravninom $ z=4$ .

Rješenje.

Volumen tijela $ \Omega$ omeđenog plohama $ z=f(x,y)$ i $ z=g(x,y)$ iznad područja $ D$ , pri čemu je $ g(x,y)\leq f(x,y)$ , $ \forall (x,y)\in D$ , prema [*][M2, poglavlje 4.2.1], računa se po formuli

$\displaystyle \displaystyle V(\Omega) = \iint\limits_D \left[f(x,y)-g(x,y)\right] dx dy$.    

Na Slici 4.8 je prikazano tijelo čiji volumen želimo izračunati i njegova projekcija na $ xy$ ravninu.

Slika: Tijelo određeno s $ z\geq x^2+y^2$ , $ z\leq 2(x^2+y^2)$ i $ z\leq 4$ , te njegova projekcija na $ xy$ ravninu.
\begin{figure}\centering \begin{tabular}{cc} \epsfig{file=sl23_dvostruki_inte... ...g{file=sl24_dvostruki_integral.eps, width=5cm} \end{tabular} \end{figure}

Uvedimo polarne koordinate

  $\displaystyle x=r\cos\varphi$,    
  $\displaystyle y=r\sin\varphi$.    

Jednadžba kružnice $ x^2+y^2=4$ u novim koordinatama glasi $ r=2$ , a jednadžba kružnice $ x^2+y^2=2$ glasi $ r=\sqrt 2$ .

Volumen tijela omeđenog širim paraboloidom $ z=x^2+y^2$ i ravninom $ z=4$ jednak je

$\displaystyle V_{1}$ $\displaystyle =\iint\limits_{V_{xy}}\left( z_{ravnine}- z_{parabole}\right) dx dy=\iint\limits_{V_{xy}}\left( 4-x^{2}-y^{2}\right) dx dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{2}\left( 4-r... ...rset{0}{\overset{2}{\bigg\vert}} d\varphi =\int\limits_{0}^{2\pi }4 d\varphi$    
  $\displaystyle =4\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{ \bigg\vert}}=8\pi$   ,    

a volumen tijela omeđenog užim paraboloidom $ z=2(x^2+y^2)$ i ravninom $ z=4$ jednak je

$\displaystyle V_{2}$ $\displaystyle =\iint\limits_{V_{xy}}\left[ 4-2\left( x^{2}+y^{2}\right) \right] dx dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\lef... ...{\overset{\sqrt{2}}{\bigg\vert}} d\varphi =\int\limits_{0}^{2\pi }2 d\varphi$    
  $\displaystyle =2\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{ \bigg\vert}}=4\pi$   ,    

pa je traženi volumen $ V=V_{1}-V_{2}=8\pi -4\pi =4\pi$ .

Volumen tijela, 1. primjer     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Površina dijela plohe u